【文章內(nèi)容簡介】 .C y y C? ? ? 即可求得通解為： ? ?2 ln .x y C y?? 其中 C為任意常數(shù) . 原方程還有特解 ? 例 5 求解微分方程 .x x ydye e edx???? 解 從現(xiàn)有形式我們看不出它是 y 的線性方程，我們可將它變形 e y dydx e y = ex . 若令 ,yze?? 則方程變成 .xdz zedx? ?? （ ） （ ）的兩邊同乘 xe ,得 ? ? 2 .xxd ze edx ?? 積分得 7 21 .2xxze C e?? 于是，（ ）的通解為 1 .2xxz Ce e??? 所以，原方程的通解為 1 .2y x xe Ce e???? 其中 C為任意常數(shù) . 伯努利（ Bernoulli）方程 形如 ? ? ? ? ndy p x y q x ydx ?? () 的方程稱為伯努利方程 (Jakob Bernoulli， 16541705，瑞士數(shù)學(xué)家 )，其中 ? ? ? ?,P x Q x 為x 的連續(xù)函數(shù)， n 為常數(shù)且 0n? 和 : 方程兩邊同乘以 ? ?1,nny?? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 1 ,nndyn y n y p x n q xdx??? ? ? ? ? 引入變量變換： 1 ,nzy?? 就有 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 ,dz n p x z n q xdx ? ? ? ? 這是關(guān)于未知函數(shù) z 的一階線性方程 .因而，方程 ()的通解可以寫成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111 1,n p x d x n p x d xny e C n q x e d x? ? ?? ????? ? ?????? 其中 C是任意常數(shù)，當(dāng) 0n? 時(shí)， 0y? 也是伯努利方程的解， 例 6 求解微分方程 y xydx x?? 解 該方程是 3n? 時(shí)的伯努利方程 .如果 0,y? 則 326 .dyy y xdx x???? 令 2,zy?? 則 8 12 xdx x?? ? 故它是一階線性方程，求得其通解為 1 2 1 2 212 12, 7d x d xxx Cz e C x e d x xx? ????? ? ? ?????? 其中 C是任意常數(shù) .將其代會(huì)原變量，可得原方程的通解： 1221417 ,xy Cx? ? 其中 C1(=7C)是任意常數(shù) .原方程還有特解 ? 例 7 求解微分方程 3 txdt x???????? 解 初看上去，似乎無法著手，但若對調(diào) t、 x的地位，就化為 3dx t xdt x?? 它是以 x 為自變量， t 為未知函數(shù)的線性方程，從而可求得 t 和 x 的關(guān)系式。該方程又可寫為 221 ,dt t xx dx x? ? ? 即 2,dt xdx x??????? 所以 31 ,3t Cxx ?? 即 41 .3t Cx x?? 是原方程的通積分 . 黎卡提（ Riccati）方程 形如 ? ? ? ? ? ?2dy P x y Q x y R xdx ? ? ? 的方程叫做 黎卡 提（ Riccati） 方程 （ ,16761754）， 其中 ? ? ? ? ? ?,P x Q x R x為區(qū)間 I 上的連續(xù)函數(shù)， 且 ??Px不恒等于 0，其右端函數(shù)是一個(gè)關(guān)于 y 二次多項(xiàng)式 .一般來說， 9 它不能用初等積分法來解出 . 若假設(shè)它的一個(gè)特解是 ??1 ,yx作變換 ? ?1 ,y z y x?? 則方程可化為以 z 為未知函數(shù)的伯努利方程 ? ? ? ? ? ? ? ? 212,dz P x y x Q x z P x zdx ? ? ?????這是一個(gè) 2n? 的伯努利方程，故可用初等積分法來求解。 定理： 設(shè) Riccati 方程 2 ,mdy ay bxdx ?? 其中 ,abm 都是常數(shù)，且 0,a? 若 0, 0,xy??則能用某一初等變換將上述方程化成變量分離方程的充要條件是 ? ?440 , 2 , , 1 , 2 , ,2 1 2 1kkmkkk??? ? ? ????? 例 8 求 解微分方程 222 1 .x x xy e y ye e?? ? ? ? ? 解 將此方程變形為： 2 2 x x xy e y e y e e?? ? ? ? 這是一個(gè) Riccati 方程 .根據(jù)方程的特點(diǎn)可觀察出此方程有一個(gè)特解 令 ? ?1 ,y z y x?? ，則方程可變?yōu)? 2 e z??? 該方程的通解是 1 .xz eC? ? 從而，原方程的通解是 1 .xxyeeC??? 其中 C是任意常數(shù) . 一階隱式方程 前幾節(jié)給出的一階方程的幾種解法，都是基于 dydx 可以明顯解出而且可表示成? ?,dy f x ydx ? 的形式，但對于一般形式 ? ?, , 0F x y y? ? 中無法解出 dydx 或者解出 dydx 的表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜的情況下，則難以用上述那些方法求解，而宜采用引進(jìn)參數(shù)（變量代換）使之變?yōu)閷?dǎo)數(shù)已解出的類型再求解，這里介紹兩種類型，可以解出 y 或 x 的方程，即 ? ?,y f x y?? 和? ?,.x f y y?? 對于方程 ? ?,y f x y?? () 10 其中 f u,v( ) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) . 引進(jìn)參數(shù) yp?? ,則式 ()改為 ? ?,y f x p? ，兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù)，并將 yp?? 代入，得到 .p f dppx p dx??? ? ? 這是一個(gè)關(guān)于 p 的一階微分方程，且它的導(dǎo)數(shù)已解出 .于是可利用上面的方法求解 .假設(shè)其通解為 ? ?, , 0x p c? ? ，則原方程的通解為 ? ?? ?, , 0,x p cy f x p? ??????? 其中， p 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 例 9 求解方程 2 24 2 2 0 .d y d yx x yd x d x?? ? ? ? ????? 解 從方程中可以看出解出 dydx 是有一定困難的，但易解出 ? ?2 242 .2y xy xy ????? 令 yp?? , 上方程寫為 2242 ,2p px xy ??? 兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù)，整理得 2 2 2 ,d p d pp p p x xd x d x? ? ? ? 即 ? ?2 1 0 .dppx dx??? ? ????? 由此可得 p x c?? ? 和 2 0,px??其中 c 為任意常數(shù)，將上述兩式分別與 2242 ,2p px xy ??? 聯(lián)立，得原方程的通解 22,42 ,2p x cp px xy? ? ???? ????? 和特解 11 222 0 ,42 ,2pxp px xy????? ????? 其中 ,p 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . 類似地，對于方程 ? ?,x f y y?? 同樣令 ,yp?? 于是兩邊對 y 求導(dǎo)數(shù)，并以 yp?? 代入，得到 1 .f f dpp y p dy???? 這是關(guān)于 p的一階微分方程，并且它的導(dǎo)數(shù)已經(jīng)解出，于是可以用前面的方法求解，設(shè)其通解為 ? ?, , 0,x p c? ? 即得原方程的參致形式通解為 ? ?? ?, , 0,y p cx f y p? ??????? 其中 ,p 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . 例 10 求方程 0dydxdy exdx ? ? ? 的解 . 解 從方程中可看到解出 dydx 是相當(dāng)困難的，但易解出 dydxdyxedx??,引入?yún)?shù) dy pdx? ,則所求方程可改寫成 px p e?? ,兩邊對 y 求導(dǎo)，并代入 1dxdy p?,得到 1 ,pdp dpep dy dy?? 即 ? ? .pdy p pe dp?? 由此可得 2 .2 pppy pe e c? ? ? ? 于是原方程的參數(shù)形式的通解為 2 ,2,ppppy pe e cx p e? ? ? ? ??????? 12 其中 ,p 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . (1) 不顯含 y 或 x 的方程，即 ? ?,0F x y? ? 和 ? ?,0F y y? ? . 對于方程 ? ?,0F x y? ? ，令 yp?? ，則從幾何觀點(diǎn)看 ? ?,0F x p ? 表示 xp? 平面上的一條曲線，若能夠把此曲線用適當(dāng)參數(shù)表示成 ? ? ? ?,x t y t???? 其中 ,t 為參數(shù) .基于基本公式 dy pdx? ，則有 ? ? ? ? ,dy t t dt???? 即 ? ? ? ? .y t t dt c?????? 于是原方程的參數(shù)形式的通解為 ? ?? ? ? ?,xty t t dt c???????????? ? 其中 ,t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 注意：此方法的關(guān)鍵在于把曲線寫成適當(dāng)?shù)膮?shù)形式，易于積分 . 例 11 求方程 0dydxdy exdx ? ? ? 的解 . 解 此方程即為上面例題 10 中的方程，但它為（ 2）類型方程，它不顯含未知函數(shù) y ,令 yp?? ，則方程寫成 0pp e x? ? ? ，于是方程可以寫成參數(shù)形式 , px t ept? ??? ?? 則 ? ?1 tdy pdx t e dt? ? ?，計(jì)算 ? ? 21 2t t tty t e dt te e c? ? ? ? ? ?? ，因此原方程的參數(shù)形式的通解為 2,2pttx t ety te e c? ???? ? ? ? ??? 其中 , t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 類似地，對于不顯含自變量 x 的方程，采用同樣的處理方法，即對方程 ? ?, 0,F y y? ? 令,yp?? 則方程改寫成 ? ?, 0,F y p ? 此方程可以用適當(dāng)?shù)膮?shù)形式表示： ? ? ? ?,y t p t???? 基于基本公式 1 ,dx dyp?則原方程的通解參數(shù)形式為 13 ? ?? ?? ?,tx dt ctyt????? ???????? 其中 , t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 注意： 方程 ? ?, 0,F y y? ? 中只是不顯含自變量 x ，而不是不含 x ，因此還要關(guān)注方程? ?,0 0,Fy ? 是否有解 .若存在 yk? ，滿足 ? ?,0 0Fk ? ，則不難驗(yàn)證 yk? 也是方程的解 . 例 12 求方程 ? ? ? ?22 12y y y??? ? ?的解 . 解 方程中不顯含自變量 x ，令 , 2 ,y p p yt?? ? ?代入方程得