【正文】 ..................................................... II 英文摘要 .................................................................. III 目 錄 ...................................................................... IV 引 言 ...................................................................... 1 1．變量代換法的相關(guān)概念 ..................................................... 1 變量代換法的定義 .................................................... 1 變量代換法體現(xiàn)的思想 ................................................ 2 2．變量代換在解常微分方程的幾種類型的應(yīng)用 ................................... 2 ......................................................... 2 齊次方程 ....................................................... 2 分式線性方程 ................................................... 4 一階線性微分方程 ............................................... 5 伯努利（ Bernoulli）方程 ........................................ 7 黎卡提（ Riccati）方程 .......................................... 8 一階隱式方程 ................................................... 9 一些特殊形式的方程 ............................................ 13 ........................................................ 14 高階微分方程的降價(jià) ............................................ 14 變系數(shù)線性微分方程 ............................................ 16 ............................................. 20 .......................................................... 20 Laplace 變換 ........................................................ 22 特征函數(shù)法 ......................................................... 23 4. 變量代換法在解題中的優(yōu)越性 .............................................. 24 5. 總結(jié) .................................................................... 25 參考文獻(xiàn) ................................................................... 25 致 謝 ..................................................................... 26 1 引 言 微分方程是一個(gè)或者幾個(gè)聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)和它的某些導(dǎo)數(shù)之間的相互關(guān)系的等式。常微分方程在數(shù)學(xué)專業(yè)中具有一定的地位，同時(shí)它在經(jīng)濟(jì)、建筑、物理、工業(yè)等領(lǐng)域中都有著十分廣泛的應(yīng)用。在微分方程發(fā)展過程的早期，人們致力于尋求一階微分方程的通解。初等積分法，就是將微分方程的解通過初等函數(shù)或者它們的積分表示出來的方法。初等積分法包括分離變量法；變量代換法；常 數(shù)變易法；積分因子法；引入?yún)?shù)法；湊全微分法。用初等積分法求解常微分方程的一般是進(jìn)行一定的變量變換 ,把所給的方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程。許多類型的一階微分方程都可以通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為變量分離方程。此外，變量代換法在高階微分方程求解中也有著廣泛的應(yīng)用。很多常微分方程都很難解，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可將方程簡(jiǎn)化并進(jìn)一步求出其解，本文將對(duì)變量代換這種重要的方法進(jìn)行系統(tǒng)的討論和研究，闡明它在求解常微分方程中的重要性。 在一階微分方程中變 量分離方程也是一種最基本的方程類型，通過變量代換變形等方法可將不同類型的一階微分方程最終化為變量分離方程進(jìn)而求解。 變量代換法體現(xiàn)的思想 變量代換法其實(shí)是基于化歸思想的一種方法。從常微分方程發(fā)展 的歷程可以看出 ,化歸是常微分方程的重要數(shù)學(xué)思想方法 ,常數(shù)變易法、變量代換法、逐步逼近法、算子法、級(jí)數(shù)解法等 ,它們都是用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)把問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)的化歸方法。 2．變量代換在解常微分方程的幾種類型的應(yīng)用 一階微分方程 齊次方程 如果函數(shù) ? ?,f xy 是關(guān)于變量 ,xy的零次齊次函數(shù)，即對(duì)于 tR? 滿足 ? ? ? ?,f tx ty f x y? ,則我們稱一階常微分方程 ? ?,dy f x ydx ? 為齊次方程。 為求解齊次方程，我們引進(jìn)新的未知函數(shù) yu x? ，利用等式 ,dy duxudx dx??? ? ? ?, 1,f x y f u? 可以把齊次方程化為等價(jià)的變量分離方程 ? ?1,dux f u udx ?? 由于變量分離方程總是能用初等積分法求解的，因此齊次方程也是能夠求解的。令 yu x? ，則 ,uduu x e udx? ? ? 得 .u dxe du x? ? 積分得 ln .ue x C? ?? 代回原變量得通解 ln ,yxe x C? ?? 其中 C是任意常數(shù) . 有些方程經(jīng)過簡(jiǎn)單的變換后可以變成齊次方程，基本思想在下面的例題中介紹。237。 的解 x =a,y = b. 再作自變量和未知函數(shù)的 (平移 )變換： . ,.xy? ? ? ?? ? ? ? 那么原方程就化為 x 和 h 的方程 ,d a bfd m n? ? ?? ? ????? ????? 它已是齊次方程 .只要令 ,u ???即可把化成變量分離方程再來求解 . bn?? ? ? 此時(shí)可設(shè) ,mnab??? 從而原方程可以寫成 ? ? .dy ax by cfdx ax by l?????? ?????? 再令 v=ax+by 為新的未知函數(shù)， x仍為自變量，則上述方程可以化為 .dy v ca bfdx v l? ????? ????? 這也是一個(gè)變量分離的方程 . 一階線性微分方程 形如 ? ? ? ?dx p x y q xdy ?? （ ） 的方程叫做一階線性微分方程，其中 ? ? ? ?,p x q x 是區(qū)間 I 上的連續(xù)函數(shù) . 該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 , ? ? ,p x dxy ce??? 作變量代換 , ? ? ? ? ,p x dxy c x e??? 將此作為原方 程的解 ,代入原方程可得 ? ? ? ? ? ?p x dxdc x q x edx ??? 從中解出 ??cx，進(jìn)而完成原方程的求解過程 . 例 4 求解微分方程 2 .2dy ydx x y? ? 6 解 從現(xiàn)有形式我們看不出它是 y的線性方程，我們可將它變形 32 ,dx x ydy y?? （ ） 即視 y為自變量， x為未知量，則（ ）是線性方程（ ）的相應(yīng)齊次線性方程 2dx xdy y? 的通解為 2,x Cy? 其中 C是任意常數(shù)，假設(shè) ()有如下形式的解 ? ? 2,x C y y? 其中 Cy() 是待定函數(shù)，將其代入得 ? ? 1 .dC ydx y?? 積分得 ? ? ln .C y y C? ? ? 即可求得通解為： ? ?2 ln .x y C y?? 其中 C為任意常數(shù) . 原方程還有特解 ? 例 5 求解微分方程 .x x ydye e edx???? 解 從現(xiàn)有形式我們看不出它是 y 的線性方程，我們可將它變形 e y dydx e y = ex . 若令 ,yze?? 則方程變成 .xdz zedx? ?? （ ） （ ）的兩邊同乘 xe ,得 ? ? 2 .xxd ze edx ?? 積分得 7 21 .2xxze C e?? 于是，（ ）的通解為 1 .2xxz Ce e??? 所以，原方程的通解為 1 .2y x xe Ce e???? 其中 C為任意常數(shù) . 伯努利（ Bernoulli）方程 形如 ? ? ? ? ndy p x y q x ydx ?? () 的方程稱為伯努利方程 (Jakob Bernoulli， 16541705，瑞士數(shù)學(xué)家 )，其中 ? ? ? ?,P x Q x 為x 的連續(xù)函數(shù)， n 為常數(shù)且 0n? 和 : 方程兩邊同乘以 ? ?1,nny?? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 1 ,nndyn y n y p x n q xdx??? ? ? ? ? 引入變量變換： 1 ,nzy?? 就有 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 ,dz n p x z n q xdx ? ? ? ? 這是關(guān)于未知函數(shù) z 的一階線性方程 .因而，方程 ()的通解可以寫成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111 1,n p x d x n p x d xny e C n q x e d x? ? ?? ????? ? ?????? 其中 C是任意常數(shù)，當(dāng) 0n? 時(shí)， 0y? 也是伯努利方程的解， 例 6 求解微分方程 y xydx x?? 解 該方程是 3n? 時(shí)的伯努利方程 .如果 0,y? 則 326 .dyy y xdx x???? 令 2,zy?? 則 8 12 xdx x?? ? 故它是一階線性方程，求得其通解為 1 2 1 2 212 12, 7d x d xxx Cz e C x e d x xx? ????? ? ? ?????? 其中 C是任意常數(shù) .將其代會(huì)原變量，可得原方程的通解： 1221417 ,xy Cx? ? 其中 C1(=7C)是任意常數(shù) .原方程還有特解 ? 例 7 求解微分方程 3 txdt x???????? 解 初看上去，似乎無法著手，但若對(duì)調(diào) t、 x的地位，就化為 3dx t xdt x?? 它是以 x 為自變量， t 為未知函數(shù)的線性方程，從而可求得 t 和 x 的關(guān)系式。 定理： 設(shè) Riccati 方程 2 ,mdy ay bxdx ?? 其中 ,abm 都是常數(shù)，且 0,a? 若 0, 0,xy??則能用某一初等變換將上述方程化成變量分