常微分方程初等解法及其求解技巧畢業(yè)論文-展示頁
2025-07-06 14:53本頁面
【正文】 的解，?????????????cbyeeayxQpdxy dxpdxp)()(2)( a b、c 是實常數(shù)，且 ）0?a 根據(jù)常數(shù)變易法先求它“對應” 的齊次線性方程 的解yxpd)(?xpcey?)( , 再令 （）??dxp)(代入原方程，有，????cbcaQedxcdxp ?? )()()(2)(分離變量得到 ，??????dxpecxbca)(2)()(兩邊積分，求出 ，然后代入（）例 求方程 的通解.2122)(??xyeyd解 在這里由于 ， ，得2)(xpxdxdxpe1)(2?????.21)()(2 )(?????????? xdxpdxp ycbyeay故原方程屬于上述黎卡提方程，其中 ， ， .原方程“對應” 的齊次線性4?a?方程 通解為2xyd?14，xcey1??令 ，代入原方程有xecy1)(?? ，2121211 ))()()( ??? ???? xxxxx ecececd即，221 )1()(???xcedxe即，??????????xdexc1)(212兩邊積分得 （其中 是任意常數(shù)）,xeAxc1)(21???A所以得到，21)(2)1??xec所以原方程的通解為（其中 為任意常數(shù)）.xxeAy112)(2??A4．形如 ()0)(???yep的微分方程. 先求得() “對應”的方程 的通解為)(?yx，??????cdpln再令，)()(lxy代入原方程化簡后得，????? dxpQxcc)()()(便得()的通解 為15，?????? ???????????? cdxepQedxpydx)()()(ln利用此公式可以求得 ??y例 求 ey1cos??解 先解方程 ，它的解是 或 .可令原0??y cxey???sin)ln(sicxy???方程的解為 ，代入方程得)(ln(sixcy?，xc1)(sin??即 ,xxsin)(???則 ,???????????? cdexexcxdx11si)( ,???cin .)(cos1x??所以原方程的通解為 ,（其中 為任意常數(shù)）.)cosln(ixy???c總結(jié)：常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法,且常應用于一階線性微分方 就可以得到非齊次線性方程的通解；線性非齊次方程的通解等??xu于它所對應的的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和. 積分因子法把一階線性微分方程 ())(xQyPdx??16改寫為如下的對稱形式 ()dxQyxpd)()(??一般而言，()不是恰當方程，但以因子 乘() 兩側(cè)，得到方程 ????dxpeu)( ，yxpedyedxxp)()()()(????即 .dQxpdxp)()()(?????它是恰當方程，由此可直接積分，得到，?????? cxeyedpdxp)()(這樣就求出了方程的通解 （）))()()(????cdxeQeypdxp 為 任意常數(shù)，其中 為積分因子，一般情況下， 積分因子是很難尋求的，只有在很c??xu特殊的情況下才很容易求得.例 求方程 的積分因子．[9]3240ydxy???解 原方程改寫為，??342xyydx?顯然 ， ， ， ．為使 ，只需取13x??1uy21??2u???123gx?， ．??12gxy?5x于是求的原方程的一個積分因子 ．52xy??例 求解 . 0)sin()cos( 4232 ????dydyx解 因為 ， ， 則方程不是全微分方程，若把Min13???xyxNi13??原方程改寫，0)sin2cos()()( 22 ????ydyxyddyx17可以看出積分因子，21xM?因為上式兩端同乘以 ，有21x ，0)sin2cos()(2 ????ydxyydyd即 ，)cs()2()2yxx從而得到方程的通積分 .cyxyx??os2總結(jié)：總之, 研究微分方程積分因子的實質(zhì)是把求解微分方程問題轉(zhuǎn)換為尋求積分因子的方法，這種方法體現(xiàn) 了一種以退為進的創(chuàng)新思維，這種思維方式的轉(zhuǎn)變還是值得我們學習的.以上總結(jié)了常微分方程的幾種解法，熟悉各種類型方程的解法，正確而又敏捷地判斷一個給定的方程屬于何種類型，從而按照所介紹的方法進行求解，這是最基本的要求.但是我們所遇到的方程未必都恰好是所介紹過的方程類型，因此要注意學習解題的技巧，善于根據(jù)方程的特點，引進 恰當?shù)淖儞Q，將方程化 為 能求解的新類型，從而求解 .下面是幾類方程之間的關(guān)系圖：18齊次方程 ),(,/yxNMdxy?uxy?/)0(/1,??yxu(1)nyz?????dyxpeu)((dxpnyx)(1),(??可分離變量方程 )(/yNxMdy?方程伯努利方程 nqpdy)(/??全微分方程 0,),(??dQP一階線性方程 )(/xq?dyxpec???)()(/1u這樣從不同角度，用不同方法解決了同一問題，更能深刻的體會到常微分方程幾種解法之間的聯(lián)系及其巧妙之處. 幾個重要的變換技巧及實例常微分方程的求解有眾多方法，技巧性很強，有 時能用不同方法解決同一問題，因此我們也要熟悉常
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