常微分方程初等解法及其求解技巧畢業(yè)論文-全文預(yù)覽
【正文】 的教科書上都是先把)(xPQ(0,1n?它化為線性方程，然后根據(jù)線性方程的求解方法去解，在這里我們直接用常數(shù)變易法去求解.根據(jù)常數(shù)變易法，先求它“對應(yīng)”的齊次線性方程 的通解yxpd)(?.??xpcey)(12令 ,代入（ ）得，??dxpecy)(，???????dxpndxpdxp ecQecec )()()()(即 ，???dxpn)(1()()所以，eQxcddxpnn???? )(1()]([)解得，1)(1(])1[() ?????ndxpnc所以（）的通解為.1)(1()( ])1[ ??????ndxpndxp ceQey利用此公式可求出任一伯努利方程的通解.例 求方程 的通解.xyd?6解 可以判斷此方程為伯努力方程，這里 ， ， ,原方程“ 對應(yīng)”xp6)(?xQ?)(2?n的齊次方程為，xyd6?其通解為 ，令 ，代入原方程化 簡得 ,6cxy?6)(xcy 126)()(xcxc???即 ，即72)()(dxc?.dxc72)(??則 ，所以原方程的通解為cxc??8)(1（其中 c 為任意常數(shù)）.xy??826133．黎卡提方程 )()(2xRyQxPdy??（） 一般來說，這一類方程一般來說沒有初等解法，不過，若知道其一特解 ，經(jīng)變換1y后，方程就變?yōu)椴Ψ匠蹋??卡提方程的解，?????????????cbyeeayxQpdxy dxpdxp)()(2)( a b、c 是實(shí)常數(shù)，且 ）0?a 根據(jù)常數(shù)變易法先求它“對應(yīng)” 的齊次線性方程 的解yxpd)(?xpcey?)( , 再令 （）??dxp)(代入原方程，有，????cbcaQedxcdxp ?? )()()(2)(分離變量得到 ，??????dxpecxbca)(2)()(兩邊積分，求出 ，然后代入（）例 求方程 的通解.2122)(??xyeyd解 在這里由于 ， ，得2)(xpxdxdxpe1)(2?????.21)()(2 )(?????????? xdxpdxp ycbyeay故原方程屬于上述黎卡提方程，其中 ， ， .原方程“對應(yīng)” 的齊次線性4?a?方程 通解為2xyd?14，xcey1??令 ，代入原方程有xecy1)(?? ，2121211 ))()()( ??? ???? xxxxx ecececd即，221 )1()(???xcedxe即，??????????xdexc1)(212兩邊積分得 （其中 是任意常數(shù)）,xeAxc1)(21???A所以得到，21)(2)1??xec所以原方程的通解為（其中 為任意常數(shù)）.xxeAy112)(2??A4．形如 ()0)(???yep的微分方程. 先求得() “對應(yīng)”的方程 的通解為)(?yx，??????cdpln再令，)()(lxy代入原方程化簡后得，????? dxpQxcc)()()(便得()的通解 為15，?????? ???????????? cdxepQedxpydx)()()(ln利用此公式可以求得 ??y例 求 ey1cos??解 先解方程 ，它的解是 或 .可令原0??y cxey???sin)ln(sicxy???方程的解為 ，代入方程得)(ln(sixcy?，xc1)(sin??即 ,xxsin)(???則 ,???????????? cdexexcxdx11si)( ,???cin .)(cos1x??所以原方程的通解為 ,（其中 為任意常數(shù)）.)cosln(ixy???c總結(jié)：常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法,且常應(yīng)用于一階線性微分方 就可以得到非齊次線性方程的通解；線性非齊次方程的通解等??xu于它所對應(yīng)的的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和. 積分因子法把一階線性微分方程 ())(xQyPdx??16改寫為如下的對稱形式 ()dxQyxpd)()(??一般而言，()不是恰當(dāng)方程，但以因子 乘() 兩側(cè)，得到方程 ????dxpeu)( ，yxpedyedxxp)()()()(????即 .dQxpdxp)()()(?????它是恰當(dāng)方程，由此可直接積分，得到，?????? cxeyedpdxp)()(這樣就求出了方程的通解 （）))()()(????cdxeQeypdxp 為 任意常數(shù)，其中 為積分因子，一般情況下， 積分因子是很難尋求的，只有在很c??xu特殊的情況下才很容易求得.例 求方程 的積分因子．[9]3240ydxy???解 原方程改寫為，??342xyydx?顯然 ， ， ， ．為使 ，只需取13x??1uy21??2u???123gx?， ．??12gxy?5x于是求的原方程的一個(gè)積分因子 ．52xy??例 求解 . 0)sin()cos( 4232 ????dydyx解 因?yàn)?， ， 則方程不是全微分方程，若把Min13???xyxNi13??原方程改寫，0)sin2cos()()( 22 ????ydyxyddyx17可以看出積分因子，21xM?因?yàn)樯鲜絻啥?
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