【正文】 切線平行于 Ox 軸 ,求曲線方程 . 例 524 設物體 A 從點 (0,1)出發(fā)以常速度 v 沿 y 軸正向運動 ,物體 B以常速度 2v 從 點 (1,0)與 A同時出發(fā) ,方向始終指向 A .試建立物體 B運動軌跡所滿足的微分方程 . 例 528 設 y1 = φ(x)是方程 003 4 005xxy y yyy???? ?? ? ? ????? ? ???的特解.76 si n .y y y x?? ?? ? ? 的通解224 4 8 2si n .xy y y x e x?? ?? ? ? ? ?0( ) ( )y P x y Q x y?? ?? ? ?21 ( ) ,y y u x?例 525 求方程 例 526 求方程 例 527 求方程 的一個解 ,若 求出此方程的另一個與 y1線性 （ 四）高階線性微分方程 無關的解 ,并寫出所給方程的通解 . y=f (x) ,x=1與 x軸所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉一周的旋轉體的體積最小 . 00 1( ) ( ) ( ) , ( ) .xxx y t d t x ty t d t y x???? 求31 1() ( ) ,()x ft d t f xt f t t ????236( ) ( ) ,x f x f x x? ? ? ?例 529 設 y (x) 是 x的連續(xù)可微函數(shù) ,且滿足 例 530 若可微函數(shù) f (x) 滿足方程 例 531 設函數(shù) f (x) 滿足 求由曲線 （ 五） 綜合問題 ( ) .fx求 的無積分的表達式( ) ( ) ( ) , ( ) .xyf x y e f y e f x f x? ? ? 求21223,.xxxxx x xy xe ey xe ey xe e e??????? ? ?例 532 若 f (x) 可微 , f ?(0)=0,對任何 x, y, 有 例 533 若 是某二階非齊次線性方程的三個解，求這個微分方程 . 形成的旋轉體的體積為 0xf x x x t f t d t f x? ? ??連續(xù)函數(shù) 求( ) sin ( ) ( ) , ( ) .2 21239[ ( ) ( ) ] , ( ) ,V t f t f f?? ? ?例 534 例 535 設函數(shù) f (x) 在 [1， +∞]上連續(xù)，直線 x= 1, x=t (t1) 與 x 軸所年圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉一周 ( ) .y f x?求三、同步測試 測試 51 相切的積分曲線是 3dy xdx ?1y y x? ? ? ?答案：23 12yx??答案：(一 )、填空題（ 3分 *4=12分） y = cex + x為通解的微分方程是 的積分曲線中與直線 y = 2x 1 y???+y?? 2y ? = 0的通解為 21 2 3xxy C C e C e ?? ? ?答案：[ ( ) ] sin ( ) c o sxL f x e y d x f x y d y???12 ()xxee ??答案： 與路徑無 關， f(0)=0, 則一階連續(xù)可導函數(shù) f(x) = 為特解的最低階常系數(shù)的齊次線性微分方程是 [ ]. 3 10[ ( ln ) ]x d y y x y x d x? ? ? ?1 2 3, si n , c osx x xy e y e x y e x? ? ?( ) 39。 第 5章 微分方程 一、內容精要 （一）主要定義 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階，本光盤只限討論常微分方程 . 含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫做微分方程；未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元的微分方程叫做偏微分方程 . 若將函數(shù)代入微分方程使其成為恒等式，則稱為該方程的一個解；根據是顯函數(shù)還是隱函數(shù)分別稱之為顯式解與隱式解；不被通解包含的解稱為奇異解；若解中含有任意常數(shù)，當彼此獨立的任意常數(shù)的個數(shù)正好等于常微分方程的階數(shù)時，稱該解為通解（或一般解）；不含有任意常數(shù)而能被通解所包含的解叫做特解 . 用來確定通解中任意常數(shù)的的條件稱為定解條件，最常用的定解條件是初始條件 . （二）主要結論 y1與 y2是二階齊次 線性方程 0y P x y Q x y?? ?? ? ?( ) ( )2211 yCyCy ??*yy P x y Q x y f x?? ?? ? ?( ) ( ) ( )的一個特解，而 Y 是它所對應的齊次方程的通解，則 是二階非線性方程 y1 與 y2 是上述方程的兩個線性無關解 , 則 y =C1y1 +C2y2 就是該方程的通解 . 的兩個解，則 y = C1y1 +C2y2也是它的解，其中 C1,C2是任意常數(shù) . *y y Y??就是該非齊次方程的通解 . 3中的方程的右邊是幾個函數(shù)的和，如 12( ) ( ) ( )f x f x f x??12*yy且與1( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?2( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?12* * *y y y??對于高階線性方程也有與上述定理相對應的定理 . 就是原方程的特解 . 的特解 ,則 分別為非齊次方程 1 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( )M x M y d x N x N y d y?? ，12( ) ( )( ) ( )M x N yd x d y CN x M y? ? ???12 0( ) , ( ) .N x M y ?()d y yd x x??ln()du xCuu? ???? ，.yu x?其中 其中 ( ) ( )y P x y Q x? ??( ) ( )[ ( ) ] .P x d x P x d xy e Q x e d x C? ?????01( ) ( ) ( , )ny P x y Q x y n? ? ? ?111 1( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ] .n P x d x n P x d xny e n Q x e d x C? ? ?? ??? ? ??0( , ) ( , )P x y dx Q x y dy?? ，()QPxy?????滿足( , ) .u x y C?的通解為 的通解為 的通解為 其中 00 0( , ) ( , ) ( , ) .xyu x y P x y d x Q x y d y????1 ()( ) ( )ny f x?( , ) .y f x y?? ??( ) , ,dpy p x y dx? ????設 則 代入方程有(2) 不顯含 y 的二階方程 對方程兩邊連續(xù)積分 n 次，便可得到其含有 n個任意常數(shù)的通解 . ( , ) .p f x p? ?積分后解之得 1( , )p x C??1( , ) ,dy xCdx ?? 則原方程的通解為12( , ) .y x C dx C????再積分 (3) 不顯含 x 的二階方程 ( , ) .y f y y?? ??( ) , ,d p d y d py p x y pd y d x d y? ??? ? ?設 則 代入方程有( , ) .dpp f y pdy ?1( , )p y C??1( , ) ,dy yCdx ?? 則原方程的通解為21.( , )dy xCyC? ???再積分 解之得 0 .y py qy?? ?? ? ?2 0r p r q? ? ?12,rr?12,rr?12, ,ri????1212 ,r x r xy C e C e??112( ) ,rxy C C x e??12( c os sin ) .xy e C x C x? ????(1) 二階常系數(shù)齊次線性方程 特征方程 兩實特征根 兩相等特征根 兩共軛虛根 微分方程的通解 (2) n 階常系數(shù)齊次線性方程 121 2 1 0( ) ( ) ( ) ,n n n nny p y p y p y p?? ?? ? ? ? ? ?,rxCe112( ) ,rx kke C C x C x ?? ? ?12( c os si n ) ,xe C x C x? ???112112[ ( ) c os( ) si n ] .xkkkke C C x C x xD D x D x x? ????? ? ? ?? ? ?根據特征方程的根，可按下表寫出通解形式 . 特征方程的根 單實根 r k重實根 r 一對虛根 r1,2=? ? ? i 一對 k 重虛根 r1,2=? ? ? i 方程通解中對應的項 (3) 二階常系數(shù)非齊次線性方程及其特解形式 * .y y Y??( I ) ( ) ( )x mf x e P x?? 型.是它的通解，下面給出上述非齊次線性方程的特解形式 . 設 y* 是方程 y? + py? + qy = f(x)的一個特解， Y 是其對應齊次方程的通解，則 2 0r p r q? ? ?12,.rr12,rr? ?當12,rr????當