【正文】 2*1 CBxAxy ???方程 244 xy y y e?? ?? ? ? 的特解 。 ???? yyyy 為特解的三階常系數 的齊次線性微分方程是 [ ]. (A) (B) (C) (D) 答案： D f (x) 可導，對任何的 x, y, 總有 0( ) ( ) ( ) , ( ) ,yxf x y e f x e f y f e?? ? ? ?1() xf x xe ??答案：(三 )、計算題 （ 7分 *5=35分） 求 f (x). 2 0 2 2 2 1( ) , ( ) , ( )xy x y y y y?? ? ? ?? ? ? ? ?的特解 . 22 l n ( )2xy ??答案：2( 3 ) 2 0xe y dx xy dy? ? ? 2 3 2( 2 2) xx x e x y C? ? ? ?答案：24 4 ( 1 )xy y y e x?? ?? ? ? ? 的通解.21ta n22d y y yd x x y x?? 的通解.2 2 2162( ) ( )xx xy C D x e x e? ? ? ?答案：2s in y Cxx ?答案： ，其上任意一點 P(x,y) 處的曲率等于此曲線在該點的法線段長度的倒數，且曲線在 (1， 1)處的切線與 x 軸平行 (法線與 x 軸交點為 Q). 1()arc h y x? ? ?答案：(四 )、綜合題（ 12分 *3=36分） 試求 u 的表達式 f (x, y) . 22()u f x y??2222221u u u u x yx y x x? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ，2 2 2 2 2 2 2( , ) c o s sinf x y C x y D x y x y? ? ? ? ? ? ?答案： 具有連續(xù)的二階偏導數，且 f ( x ) 具有二階連續(xù)導數， f(0)=0, (0) 1,f ? ?2[ ( ) ( ) ] [ 39。 ???? yyyy 。2121)( 2 ??? xeB x。 39。 第 5章 微分方程 一、內容精要 （一）主要定義 微分方程中出現的未知函數導數的最高階數叫做微分方程的階，本光盤只限討論常微分方程 . 含有自變量、未知函數以及未知函數的導數或微分的方程叫做微分方程；未知函數是一元函數的微分方程叫做常微分方程；未知函數是多元的微分方程叫做偏微分方程 . 若將函數代入微分方程使其成為恒等式，則稱為該方程的一個解；根據是顯函數還是隱函數分別稱之為顯式解與隱式解；不被通解包含的解稱為奇異解；若解中含有任意常數，當彼此獨立的任意常數的個數正好等于常微分方程的階數時，稱該解為通解（或一般解）；不含有任意常數而能被通解所包含的解叫做特解 . 用來確定通解中任意常數的的條件稱為定解條件，最常用的定解條件是初始條件 . （二）主要結論 y1與 y2是二階齊次 線性方程 0y P x y Q x y?? ?? ? ?( ) ( )2211 yCyCy ??*yy P x y Q x y f x?? ?? ? ?( ) ( ) ( )的一個特解，而 Y 是它所對應的齊次方程的通解，則 是二階非線性方程 y1 與 y2 是上述方程的兩個線性無關解 , 則 y =C1y1 +C2y2 就是該方程的通解 . 的兩個解，則 y = C1y1 +C2y2也是它的解，其中 C1,C2是任意常數 . *y y Y??就是該非齊次方程的通解 . 3中的方程的右邊是幾個函數的和，如 12( ) ( ) ( )f x f x f x??12*yy且與1( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?2( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?12* * *y y y??對于高階線性方程也有與上述定理相對應的定理 . 就是原方程的特解 . 的特解 ,則 分別為非齊次方程 1 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( )M x M y d x N x N y d y?? ，12( ) ( )( ) ( )M x N yd x d y CN x M y? ? ???12 0( ) , ( ) .N x M y ?()d y yd x x??ln()du xCuu? ???? ，.yu x?其中 其中 ( ) ( )y P x y Q x? ??( ) ( )[ ( ) ] .P x d x P x d xy e Q x e d x C? ?????01( ) ( ) ( , )ny P x y Q x y n? ? ? ?111 1( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ] .n P x d x n P x d xny e n Q x e d x C? ? ?? ??? ? ??0( , ) ( , )P x y dx Q x y dy?? ，()QPxy?????滿足( , ) .u x y C?的通解為 的通解為 的通解為 其中 00 0( , ) ( , ) ( , ) .xyu x y P x y d x Q x y d y????1 ()( ) ( )ny f x?( , ) .y f x y?? ??( ) , ,dpy p x y dx? ????設 則 代入方程有(2) 不顯含 y 的二階方程 對方程兩邊連續(xù)積分 n 次，便可得到其含有 n個任意常數的通解 . ( , ) .p f x p? ?積分后解之得 1( , )p x C??1( , ) ,dy xCdx ?? 則原方程的通解為12( , ) .y x C dx C????再積分 (3) 不顯含 x 的二階方程 ( , ) .y f y y?? ??( ) , ,d p d y d py p x y pd y d x d y? ??? ? ?設 則 代入方程有( , ) .dpp f y pdy ?1( , )p y C??1( , ) ,dy yCdx ?? 則原方程的通解為21.( , )dy xCyC? ???再積分 解之得 0 .y py qy?? ?? ? ?2 0r p r q? ? ?12,rr?12,rr?12, ,ri????1212 ,r x r xy C e C e??112( ) ,rxy C C x e??12( c os sin ) .xy e C x C x? ????(1) 二階常系數齊次線性方程 特征方程 兩實特征根 兩相等特征根 兩共軛虛根 微分方程的通解 (2) n 階常系數齊次線性方程 121 2 1 0( ) ( ) ( ) ,n n n nny p y p y p y p?? ?? ? ? ? ? ?,rxCe112( ) ,rx kke C C x C x ?? ? ?12( c os si n ) ,xe C x C x? ???112112[ ( ) c os( ) si n ] .xkkkke C C x C x xD D x D x x? ????? ? ? ?? ? ?根據特征方程的根，可按下表寫出通解形式 . 特征方程的根 單實根 r k重實根 r 一對虛根 r1,2=? ? ? i 一對 k 重虛根 r1,2=? ? ? i 方程通解中對應的項 (3) 二階常系數非齊次線性方程及其特解形式 * .y y Y??( I ) ( ) ( )x mf x e P x?? 型.是它的通解，下面給出上述非齊次線性方程的特解形式 . 設 y* 是方程 y? + py? + qy = f(x)的一個特解， Y 是其對應齊次方程的通解，則 2 0r p r q? ? ?12,.rr12,rr? ?當12,rr????當12 ,rr? ??當()x my py qy e P x??? ?? ? ?* ( ) ,xmy Q x e ??* ( ) ,xmy xQ x e ??2* ( ) .xmy x Q x e ??的特解形式 的兩個根為 特征方程 方程 ( I I ) ( ) [ ( ) c o s ( ) s in ]x lnf x e P x w x P x w x??? 型.2 0r p r q? ? ?12,rr12,r w i???當12,r w i???當y p y q y?? ???方程[ ( ) c os ( ) si n ]x lne P x w x P x w x???12* ( ) ( )[ ( ) c os ( ) si n ] ,x mmy e R x w x R x w x???12* ( ) ( )[ ( ) c os ( ) si n ] .x mmy xe R x w x R x w x???m a x ( , ) .m l n?其中特征方程 的兩個根為 （三）結論補充 ??1 . ( ) ( )dx P y x Q ydy( ) ( )[ ( ) ] .P y d y P y d yx e Q y e d y C? ?????1111( ) ( ) ()n n n n nnx y p x y p xy p y f x?? ? ?? ? ? ? ?,txe?,ddt 則11() ( ) ( ) .kkx f D D D k y? ? ? ?用 D 表示 將方程寫成算子形式， 可以通過變換 的通解是 1 ()P y x?????1 ()( ) .PQ dxQ y xxe????????與 y 無關，則有 （ 1）如果 (x