常微分方程試題庫試卷庫-免費閱讀
【正文】 6．如果A(t)是nn矩陣，f(t)是n維列向量，則它們在 atb上滿足 時，方程組xˊ= A(t) x+ f(t)滿足初始條件x（t）=的解在atb上存在唯一。（60分）解： (xy+1)dx(x++3)dy=0 xdx(ydx+xdy)+dxdy3dy=0 即dd(xy)+dx3dy=0 所以解：，令z=x+y則所以 –z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+即解： 設(shè)f(x,y)= ,則 故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù)， 因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件， 顯然，是通過點（0，0）的一個解； 又由解得，|y|= 所以，通過點（0，0）的一切解為及|y|=解： (1) 齊次方程的通解為x= (2)不是特征根，故取代入方程比較系數(shù)得A=，B=于是 通解為x=+解： det()= 所以， 設(shè)對應(yīng)的特征向量為 由 取 所以，= 三、證明題。方程組的_________________稱之為的一個基本解組。12．求初值問題 的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計。5．函數(shù)組的伏朗斯基行列式為 _______ 。 （2）由于為方程x=Ax的解矩陣，所以(t)也是x=Ax的解矩陣，而當t= t時，(t)(t)=E, (t t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t t)設(shè)為方程（Ａ為常數(shù)矩陣）的標準基解矩陣（即，證明其中為某一值。 求方程三、 證明題30%=是方程組x=x,x=，在任何不包含原點的區(qū)間a上的基解矩陣。３、__________________稱為伯努利方程，它有積分因子 _________。４、若為階齊線性方程的個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是__________________________。 證明題由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解：考慮從而是線性無關(guān)的。=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標準基解矩陣（即（0）=E），證明: (t)=(t t)其中t為某一值. 證明：為方程的基解矩陣為一非奇異常數(shù)矩陣，所以 也是方程的基解矩陣，且也是方程 的基解矩陣，且都滿足初始條件， 所以6．若為齊線性方程的一個基本解組，為非齊線性方程的一個特解，則非齊線性方程的所有解可表為 ________ 。13．求方程的通解。若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expAt =____________。 （10分）證明： 設(shè)的形式為= （1） （C為待定的常向量） 則由初始條件得= 又= 所以，C== 代入（1）得= 即命題得證。7．若（t）和（t）都是xˊ= A(t) x的 基解矩陣，則（t）與（t）具有關(guān)系：。 解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的 含參數(shù)形式的通解為：p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 3．解： 4． 線性方程的特征方程故特征根 是特征單根，原方程有特解代入原方程A=B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解為5． 解：解得此時 k=1 由公式expAt= 得6． 解：由解得奇點（3，2）令X=x3,Y=y+2則因為=1+1 0故有唯
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