常微分方程試題庫試卷庫-資料下載頁
2025-03-25 01:12本頁面
【正文】 6．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 ． 7．方程的所有常數(shù)解是 ． 8．方程所有常數(shù)解是 ． 9．線性齊次微分方程組的解組為基本解組的 條件是它們的朗斯基行列式． 10．階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為 個(gè)．二、計(jì)算題（40%） 求下列方程的通解或通積分： 1. 2． 3． 4． 5． 三、證明題（30%）1．試證明：對(duì)任意及滿足條件的，方程 的滿足條件的解在上存在． 2．設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有．3．設(shè)方程中，在上連續(xù)可微，且，．求證：該方程的任一滿足初值條件的解必在區(qū)間上存在．參考答案 一、填空題1． 2．平面 3．充分 4． 5．線性無關(guān) 6．平面 7．， 8．； 或9．充分必要 10．二、計(jì)算題 1．解：令，則 當(dāng)時(shí)等號(hào)兩邊積分 2．解：令，則代入方程得 即 再令，則得 所以 3．解 由于，所以原方程是全微分方程． 取，原方程的通積分為 即 4．解 特征方程為 即 特征根為 ， 對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿足 可確定出 同樣可算出對(duì)應(yīng)的特征向量為 所以，原方程組的通解為 5．解：特征方程為 特征根為 滿足 解得 取 ，則 ．于是 三、證明題 1．證： 由于 在全平面上連續(xù)，所以原方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理?xiàng)l件．又顯然是方程的兩個(gè)特解．現(xiàn)任取，記為過的解，那么這個(gè)解可以唯一地向平面的邊界無限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在區(qū)間必為． 2．證明 設(shè)為方程任一解滿足，由常數(shù)變易法有于是 = 0 + 3．證明 由已知條件，方程在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件，因此，它的任一解都可延展到平面的無窮遠(yuǎn)． 又由已知條件，知是方程的一個(gè)解． 且在上半平面，有； 在下半平面，有． 現(xiàn)不妨取點(diǎn)屬于上半平面，并記過該點(diǎn)的解為．由上面分析可知，一方面在上半平面單調(diào)遞減向平面無窮遠(yuǎn)延展；另一方面又不能穿過軸，否則與唯一性矛盾．故解存在區(qū)間必為
黨政相關(guān)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1