常微分方程試題庫試卷庫-資料下載頁
2025-03-25 01:12本頁面
【正文】 6．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 ． 7．方程的所有常數(shù)解是 ． 8．方程所有常數(shù)解是 ． 9．線性齊次微分方程組的解組為基本解組的 條件是它們的朗斯基行列式． 10．階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)最多為 個．二、計算題（40%） 求下列方程的通解或通積分： 1. 2． 3． 4． 5． 三、證明題（30%）1．試證明：對任意及滿足條件的，方程 的滿足條件的解在上存在． 2．設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有．3．設(shè)方程中，在上連續(xù)可微，且，．求證：該方程的任一滿足初值條件的解必在區(qū)間上存在．參考答案 一、填空題1． 2．平面 3．充分 4． 5．線性無關(guān) 6．平面 7．， 8．； 或9．充分必要 10．二、計算題 1．解：令，則 當(dāng)時等號兩邊積分 2．解：令，則代入方程得 即 再令，則得 所以 3．解 由于，所以原方程是全微分方程． 取，原方程的通積分為 即 4．解 特征方程為 即 特征根為 ， 對應(yīng)特征向量應(yīng)滿足 可確定出 同樣可算出對應(yīng)的特征向量為 所以，原方程組的通解為 5．解：特征方程為 特征根為 滿足 解得 取 ，則 ．于是 三、證明題 1．證： 由于 在全平面上連續(xù)，所以原方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理條件．又顯然是方程的兩個特解．現(xiàn)任取，記為過的解，那么這個解可以唯一地向平面的邊界無限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在區(qū)間必為． 2．證明 設(shè)為方程任一解滿足，由常數(shù)變易法有于是 = 0 + 3．證明 由已知條件，方程在整個平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件，因此，它的任一解都可延展到平面的無窮遠(yuǎn)． 又由已知條件，知是方程的一個解． 且在上半平面，有； 在下半平面，有． 現(xiàn)不妨取點屬于上半平面，并記過該點的解為．由上面分析可知，一方面在上半平面單調(diào)遞減向平面無窮遠(yuǎn)延展；另一方面又不能穿過軸，否則與唯一性矛盾．故解存在區(qū)間必為
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