【正文】 ?? ,則它的通解為 (用實函數(shù)表示 ). Axx?? ,若矩陣 A 的 n 個特征根n??? ，??, 21 彼此互異 , nvvv ，??, 21 他們所對應的特征向量 , 則方程組的基解矩陣 ????t . 7. n 階 線 性 方 程? ? ? ? ? ? ? ? ? ?tivtuytadxdytadt ydtadt yd nnnnnn ?????? ??? 1111 ??有 復 值 解? ? ? ?tiVtUy ?? , 則其虛部 ??tV 是方程 的解 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????????????????????????????????????????????????????????????????432101234000100001000010txtfxtatatatax 等價的 n 階線性方程的初值問題為 . ? 參考答案 o 1. 2y x c??, 2 3yx??。 2. 22 yxydxdyx ?? 。 ( ) 39。39。 通解是 21( ),2x y y C?? y=0也是解 。 7. 1sinyy x???? . ? 參考答案 o 1. d ddd x y y x y xy e e y e x e e Cx ?? ? ? ? ? ?。 2. 22 d ( 1) d 0x y x x y? ? ?。 2. 方程 2 22d 0dy ayx ??( a 是 實 數(shù) ) 的 通 解 是 12sin c o sy C a x C a x??。 4. 方程 22dd 60xx xtt? ? ?的通解是 ④ 。2yy?? ，所以， 12 xy C e??? .由 (0) 0y ? 得1 2C?? ； 當 (1, )x? ?? 時， 39。 0xx?? 的通解是 12cos si nx C t C t??(2 分 )，設原方程的特解是 ( c os si n )x t A t B t??(4 分 )， 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 將 ( c os si n )x t A t B t?? 代 入 原 方 程 得 2 s in 2 c os s inA t B t t? ? ?， 所以有 2120AB???? ?? ? 120AB? ????? ?? ，以原方程的通解是 12 1c o s s in c o s2x C t C t t t? ? ?(6 分 ). 注：如果用常數(shù)變易法或利用輔助方程 39。39。39。 2 c osxy y y e x? ? ? 的特解可設為 ⑤ ； 6. 如果 1 2 3, s in , tx t x t x e? ? ?是某個二階線性非齊次方程的特浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 解，那么這個方程的通解是 ⑥ ； 7. 方程 22y x y??? ?? 滿足條件 (0) 1, (0) 0yy???的解有 ⑦ 個 . ? 參考答案 o 1. 三 ， o 2． ()P x dxy Ce?? ， o 3． ( ) ( )MNyx?????， o 4． 212tty C e C e?? ， o 5． ( c os sin )xy x e A x B x??, o 6． 12( si n ) ( )t t tc e t c e t e? ? ? ?， o . 二、是非判斷題：（每小題 2 分，共 10 分） 8. 如果 ( ) ( )X t i t????是微分方程組 ( ) ( )dX A t X b tdt ??的復值解（這里 ()t? 、 ()t? 、 ()bt 都是實向量函數(shù)， ()At 是實矩陣函數(shù)）， 那么 ()Xt?? 是微分方程組 ( ) ( )dX A t X b tdt ??的解 . 9. 方程 2 22 0dy aydx ??（ a 是實數(shù)）的通解是 si n( ) c os( )y A ax B ax??. 10. 方程 39。)(39。, 21 xxxx ?? ，則（ 1 ）化為 AXX?39。39。3x x yy x y???? ?? ??, 特征方程 28 013AE ?? ??? ? ?? ? ?, 2 20??? ? ? , 1,2 172 i? ?? . 因為 ,特征根的實部都 0? , 所以原方程組的零解是漸近穩(wěn)定的 . o 2. 構造 Lyapunov函數(shù) 22( , )V x y x y??(定正 ), 則 3 5 4 62 39。2yy?? ,所以 , 12 xy C e??? .由 (0) 0y ? 得1 2C?? 。39。 注 :如果用常數(shù)變易法或利用輔助方程 239。 6 0t x tx x? ? ?. ? 參考答案 o 1. 39。 2 8 sin 2x x x t? ? ? 。xp p? . 由 39。39。 3. xydy y edx x?? 。 ( ) ( )y a x y b x y c x? ? ?(其中 a(x),b(x),c(x)連續(xù) )可以有三個線性無關的解 。 3. 如果存在定負函數(shù) V(X),使得 V通過方程組 ()dX fXdt ? 其中( ) 0fX? ）的全導數(shù) dtdV 定正 ,那么這個方程組的零解漸近穩(wěn)定 。39。浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 模擬試題 1 一、填空題 : (每小題 2 分 ,共 8分 ) 1. 方程 ( ) ( ) 0dy p x y Q xdx ? ? ?的通解是 ① 。 4. 方程 39。 2. 方程 2 22 0dy aydx ??( a 是實數(shù) ) 的 通 解 是12c o s( ) sin( )y C x C x??。 ( ) 39。 2. dxdy =331 yxxy?。 o 3. xydy y edx x?? ,設 xy u? ,則 39。2 2 2 2pp x ppp? ? ? ? ? 2 10p ?? 或 39。 39。 4 39。 2 0x x x? ? ? 的通解是 212ttx C e C e??? ,設原方程的特解是 sin cosx A t B t??, 將 sin cosx A t B t?? 代 入 原 方 程 得( 6 2 ) si n ( 2 6 ) 8 si n 2A B t A B t? ? ? ? ?, 所以有 6 2 82 6 0ABAB? ? ??? ??? ?6525AB? ?????? ???? , 所以原方程的通解是 212 62s in c o s55ttx C e C e t t?? ? ? ?。 2 8 itx x x e? ? ? 求解 ,則參照此解法給分 . o 2. 2 39。 ( )y y g x?? ,其中 g(x)=??? ??? .1,0 10,2 時當 時，當 x x 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 試求一連續(xù)函數(shù) y=y(x),滿足條件 y(0)=0,且在區(qū)間(0,1),(1, )?? 內滿足上述方程 . ? 參考答案 o (0,1)x? 時 , 39。 2 839。 （ II）當 0?a ,不防設 a0,則方程的兩個基本解為ate? ， ate 易求得一個特解 ),1(120 tax ??? 所以此時方程的解為 )1(1221 taeCeCx atat ???? ? o 6. x″ +x=0 的通解是 12cos si nx C t C t??(2分 )， 設原方程的特解是 ( c os si n )x t A t B t??(4分 )， 將 ( c os si n )x t A t B t??代 入 原 方 程 得 2 s in 2 c os s inA t B t t? ? ?， 所以有 2120AB???? ?? ? 120AB? ????? ?? , 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 所以原方程的通解是 12 1c o s s in c o s2x C t C t t t? ? ? 注：如果用常數(shù)變易法或利用輔助方程 39。 ? 參考答案 o 1. 當 n=1 時，方程為線性非齊次方程， 其解為 ?????? ??? ?? Cdxexey xx 22（ 3 分） o 2. 當 n=2 時，方程為 Riccati 方程，通過觀察，易知 x1為其一特解（ 6分）， 令 uxy ??1 （ 8分），代入原方程后可化簡為 ,22 xuudxdu ??此為伯努里方程， 再令 uv1? ，則又可化為 ,21 xvdxdv ??? 可求其解為32 xxcv ?? ， 因此原方程的解為223 31 xc xxy ??? . 五．證明題：（本題 10分） 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 設 )(),( 21 txtx 是方程 0)()( 21 ?????? xtaxtax 的基本解組，則線性非齊次方程 )()()( 21 tfxtaxtax ?????? 滿足初始條件 0)()( 00 ??? tt ?? 的解可表為 ? ??? tt dssfw sxtxsxtxt0)())()()()(()( 1221? （其中 w 為解 )(),( 21 txtx 所成的Wronski行列式），試證明之 . ? 參考答案 o 證明：設 )(),( 21 txtx 為方程 0)()( 21 ?????? xtaxtax （ 1）的兩個線性無關解 . 令 39。 )()()(,)(39。 2 39。 ( ) ( )y a x y b x y c x? ? ?（其中 ( ), ( ), ( )a x b x c x 連續(xù)）可以有三個線性無關的解 . 11. 如果 ()t? 是 n 維方程組 dtdX =A(t)X 的基解矩陣， C 是 n 階可逆常數(shù)矩陣，那么 ()t? C 也是方程組 dtdX =A(t)X 的基解矩陣 . 12. 方程 dxdy = 2 y 滿足初始條件： x=0 時 y=0 的解只有 y=0. ? 參考答案 o 8. ， 9. ， 10 √， 11,√ 12,. 三、（ 24 分）求解下列各方程： 1. 2(1 )dy xydx ??； 2. dxdy =2yxy?； 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 3. dxdy xy = yxe ； 4. 3 20d y d yxyd x d x?? ? ? ?????. ? 參考答案 o 1. dxdy = 2(1 )xy? ?21 dy xdxy ??(3 分 ) ? 通解為21a r c ta n2y x C?? 或者寫為 21tan( )2y x C?? (6 分 )； o 2. dxdy =2yxy?? dxdy = 1y x y? ?? (3 分 ) ? 11[ ] ( )y d y y d yx e y e d y C y y C?? ???? ? ? ?? (6 分 )； o 3. 設 y ux? (2 分 )，則 39。 3 ( 3 )32d p p d xp p p p x p x pd x p x d p p?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 分 22 243[ 3 ] ( )4d p d pppx e p e d p C p p C? ???? ? ? ? ? ?? (4 分 )代入 3 2y p xp?? 得 3122 Cypp? ? ? (5 分 )，所以通解是22334122CxppCypp? ? ? ????? ? ? ??? (6 分 ). 四、（ 18 分）求下列各方程的通解： 1. 39。39。 ( )y y g x?? ，其中 2 , 0 1()0 , 1 .xgx x ???? ? ?? 當 時 ，當 時 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院 試求一連續(xù)