【正文】 函數(shù) ()y y x? ，滿足條件 (0) 0y ? ，且在區(qū)間 (0,1), (1, )? 內(nèi)滿足上述方程 . ? 參考答案 o 當(dāng) (0,1)x? 時(shí)， 39。 3. 方程 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy??存在只與 y有關(guān)的積分因子 μ=μ (y)的充要條件是 ③ 。 7. 方程 2 siny x y??? ?? 滿足條件 (0) 1, (0) 0yy???的 解有 ⑦ 個(gè) . ? 參考答案 o 1. 三 , 2. 00 e x p ( ( ) d )xxy y P x x? ? , 3. ()MNyx yM ???????? , 4. 3212ttx C e C e??? , o A Bt?? , 6. )s inc o s(2 xBxAxey x ?? , 7. 無窮多 . 二、是非判斷題 : (每小題 2分 ,共 10分 ) 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 1. 如果 ( ) ( )X t i t????是微分方程組 ( ) ( )dX A t X b tdt ??的復(fù)值解 (這里 ()t? 、 ()t? 、 ()bt 都是實(shí)向量函數(shù) , ()At 是實(shí)矩陣函數(shù) ),那么 ()Xt?? 是微分方程組 ()dX A t Xdt ?的解 。 5. 對(duì)于常系數(shù)方程組 X′ = AX,若 A 的特征根的實(shí)部都是非正的 ,則方程組的任一解當(dāng) t??? 時(shí)都趨于零 . ? 參考答案 o 1.√ , 2. , 3.√ , 4. , 5. . 三、求解下列各方程 : (49分 ) 1. xydy edx ?? 。 6. 222dd46yyx x y xxx? ? ?。 4. 3dy ydx x y? ? ? 12dd x y x yy ?? ? ? ? 1122 1[ ] ( )2y d y y d yx e y e d y C y y C?? ???? ? ? ?? 。X AX? 的 基 解 矩 陣 , 其中1234 1 1, 1 2 11 1 2xX x Ax???? ???? ??? ? ????? ?????.(9 分 ) ? 參考答案 o 因?yàn)? 4 1 1 2 1 1 1 1 11 2 1 2 2 1 ( 2 ) 1 2 11 1 2 2 1 2 1 1 2EA??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 21 1 1( 2) 0 3 0 ( 2) ( 3 )0 0 3? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 所以 ,特征值是 1 2 32, 3, 3? ? ?? ? ?. 對(duì)于 12?? , 解齊次方程組11232 1 1 0( ) 1 0 1 01 1 0 0uE A uu??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?u 得特征向量111??????????, 同理 , 對(duì)于 2,33?? , 可 求 得 特 征 向 量111 , 001? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. 因此 , 原 方 程 的 通 解 是231 1 2 3232 1 2233 1 3()ttttttx C e C C ex C e C ex C e C e? ? ? ?????? ???, 或 者 寫 成浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 12 3 32 1 2 331 1 11 1 01 0 1t t txx C e C e C ex? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 五、證明題 :(11 分 ) 1.(6 分 )給定方程 3 2 ( )x x x f t??? ?? ????,其中 ()ft 在 t??? ?? 上連續(xù) ,設(shè) 12( ), ( )tt??是上述方程的兩個(gè)解 , 證明極限12lim [ ( ) ( )]t tt????? ?存在 . 2.(5 分 )設(shè) f(x)是已知的以ω為周期的連續(xù)函數(shù) ,k 是非 0常數(shù) , 試證明方程 d ( ) 0d y ky f xx ? ? ?有且僅有一個(gè)周期為ω的周期解 ,并求出這個(gè) 周期解 . ? 參考答案 o 1. 證明 : 由 條 件 知 12( ) ( )tt??? 是線性齊次方程320x x x??? ?? ????的解 , 因?yàn)? 320x x x??? ?? ???? 的特征方程是 323 2 0? ? ?? ? ?,特征根是 1 2 30 , 1, 2? ? ?? ? ? ? ?, 所以 320x x x??? ?? ???? 的通解 21 2 3ttx c c e c e??? ? ? , 所以 21 2 1 2 3( ) ( ) ttt t c c e c e?? ??? ? ? ?, 從 而 極 限 1 2 1lim [ ( ) ( )]t t t c??? ?? ?? 存在 . o 2. 證明 :如果 d ( ) 0d y ky f xx ? ? ?有兩個(gè)以ω為周期的周期解 12( ), ( )y x y x , 則 12( ) ( )y x y x? 是齊線性方程 d 0dy kyx??的解 ,所以12( ) ( ) kxy x y x ce ???. 由于 12( ) ( )y x y x? 是以ω為周期的函數(shù) ,所以 c=0,即12( ) ( )y x y x? . 方程 d ( ) 0yk y f xx? ? ?的通解是浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 0( ) e [ ( ) e d ]xk x k sy y x f s s C?? ? ? ??. 由 ( ) (0)yy? ? 得0e [ ( ) e d ]k k sf s s C C??? ? ? ?? , 所以01 ( ) e d1e kskC f s s??? ? ? . 因此 , 所 求 解 是?????? ????? ? ?? x kskkskx dsesfedsesfexyy 0 0 )(1 1)()( ??. 模擬試題 5 一、 填空題： (3′10) 1 ． 方 程 )()( xQyxPdxdy ?? 的 通 解為 . 2．形如 的方程叫做歐拉方程 . 3．若方程組 AYY ?? 中矩陣 A 有 n 個(gè)互不相等的特征根 λ1 ，λ2 ， …,λ n，而 nvvvv ,......., 321 是對(duì)應(yīng)的特征向量， 則基解矩陣為 Ф(t ) =__________________. 4． n 階非齊線性方程nndxyd + )(1 xp 11??nndxyd ＋ … ＋ dxdyxpn )(1? ＋yxpn )( ＝ )(xf 的通解等于 與 之和 . 5．考慮定義在區(qū)間 [a， b]上的函數(shù) 12( ), ( ), , ( )nx t x t x t, 如果存在 ， 使得恒等式 對(duì)于所有 t∈ [a,b]都成立，則說這些函數(shù)是線性相關(guān)的 . 6．設(shè)函數(shù)組 12, , , nx x x ，則在區(qū)間 ? ?ba, 上它們的伏朗斯基行列式 ?? 0?tW 是它們?cè)趨^(qū)間上線性相關(guān)的 條件（填 “充分 ”， “必要 ”或 “充要 ”） . 7. 方程 0),(),( ?? dyyxNdxyxM 為恰當(dāng)方程的充要條件是 . 8. 與方程組??????????????????????????)(00)()()(100010123 tfxtatatax 相對(duì)應(yīng)的線性方程為 . ? 參考答案 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 o 1． ( ) ( )()p x d x p x d xy e q x e d x c????????????. o 2． 111 1 11 0nnnnnnd y d d yx a x a x a yd x d x d x?????? ? ? ? ?. o 3． ? ?nttt veveve n??? ?, 21 21 . o 4．它所對(duì)應(yīng)的齊線性方程的通解，它本身的一個(gè)特解 . o 5. 不 全 為 零 的 常 數(shù) nccc ?, 21 , 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t? ? ? ?. o 6. 必要 . o 7. MNyx???. o 8. 1 2 339。39。( ) ( ) ( )x A x x? ? ?且 det ( ) 0x??, 5. ? ?nttt veveve n??? ?, 21 21 , 6. 它所對(duì)應(yīng)的齊線性方程的通解，它本身的一個(gè)特解 . 7. 克萊羅 , , 9. 大于零 . 二 、 解方程 (8′ 3) 1. 014455 ?? dx ydxdx yd 。 3. 0d y d yxyd x d x? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?, 解為 : 211 ,2 xy x C o r y c e? ? ?. 三、 判斷下列方程在給定區(qū)域上是否滿足解的存在唯一定理的條件 (5′ 2) (1)、 1||,1|1|:22 ????? yxRyxdxdy (2)、 yxdxdy tan? R : ?????? yx 0,11 ? 參考答案 o (1) 易驗(yàn)證 滿足解的存在唯一定理的條件 (2) 不滿足 ,因?yàn)? 當(dāng) 2y ?? 時(shí) ,tan y??? ,所以 tanxy在區(qū)域 R上不滿足利普希斯條件 , 四、 確定下列方程組的奇點(diǎn)類型及穩(wěn)定性 (8′ 2) ?????????yxdtdyyxdtdx243 ?????????yxdtdyyxdtdx47 ? 參考答案 o 不穩(wěn)定 o ,漸近穩(wěn)定 五 、證明題 1.(8′ )設(shè) ? ?yxf , 及yf??連續(xù) ,試證方程 0),( ?? dxyxfdy 為線性方程的充要條件是它有僅倚賴于 x 的積分因子 . 2.(12′ )設(shè) )(1tx ， )(2tx ，…… , )(txn 是 n 階齊線性方程 nndtxd +111 )( ??nndt xdta + …… + dtdxtan )(1?+ xtan )( = 0 的任意 n 個(gè)解 , 它們所構(gòu)成的伏朗斯基行列式為 )(tW ,試證明 : （ 1） W(t)滿足 0)(1 ??? WtaW 。 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 4. ()y cx f c?? , ( ) 0()x f cy cx f c????? ???, 5. 12 3cos( )2tet? , 12 3sin( )2tet? 。( ) 2 ( )(0) ln 2f x f xf ??? ?? ,? 2( ) ln 2 xf x e? . 五 .已知方程組 Axx?? ,其中??????????????244354332A ,求 Atexp ,并寫出方程組的通解 . ? 參考答案 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 o 由 2 3 3d e t( ) 4 5 3 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )4 4 2EA?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ???得特征根為 1 2 31, 2 , 2? ? ?? ? ? ? ?, 由特征向量方程組 1232 3 3 04 5 3 04 4 2 0uuu?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?