常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 ,特征方程為 ,特征根為 ,通解為 ,或?qū)⑵鋵憺? 其中 ,.這就是說,無阻尼自由振動的振幅,頻率均為常數(shù).在該種情況下,考慮物體所受到的阻力,方程①變?yōu)?令,方程變?yōu)? ,特征方程為,特征根 .根據(jù)與的關(guān)系,又分為如下三種情形：(1)大阻尼情形, .特征根為二不等實根,通解為(2)臨界阻尼情形,.特征根為重根,通解為 這兩種情形,由于阻尼比較大,質(zhì)點慢慢回到平衡位置,位移隨時間的變化規(guī)律分別如圖5和圖6所示. 圖5 圖6(3)小阻尼情形,.特征根為共軛復(fù)根,通解為 將其簡化為 ,. 在這種情形下,設(shè)物體不受阻力作用,其所受外力為簡諧力,此時,方程①化為 , ,根據(jù)是否等于特征根,其通解分為如下兩種情形：（1）當(dāng)時,其通解為 圖7,此時,特解的振幅為常數(shù),但當(dāng)接近于時,將會導(dǎo)致振幅增大,發(fā)生類似共振的現(xiàn)象；（2）當(dāng)時,其通解為,此時,特解的振幅隨時間的增加而增大,這種現(xiàn)象稱為共振,即當(dāng)外力的頻率等于物體的固有頻率時,將發(fā)生共振. 在這種情形下,假定振動物體既受阻力作用,又受外力的作用,并設(shè),方程①變?yōu)? ,特征根,則不可能為特征根,特解為 ,其中 ,還可將其化為,由此可見,在有阻尼的情況下,將不會發(fā)生共振現(xiàn)象,不過,當(dāng)時,若很小,則仍會有較大的振幅；若比較大,則不會有較大的振幅.15
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