【正文】 在區(qū)間 ? ?l,0 上 研 究?jī)啥斯潭ǖ木鶆蛳业淖杂烧駝?dòng) 。 即達(dá)朗貝爾公式給出的解是穩(wěn)定解。至于第三個(gè)要求即解的穩(wěn)定性說的是：如果解的數(shù)值也只作細(xì)微改變。0,ttu f x g x xu af x ag x xt????? ? ?? ? ? ? ?? 17 () ? ? ? ? ? ?01 xf x g x d ca ? ? ?? ? ? ??積 分 第 二 式 得 () ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?00,112112xxfgf x x d cag x x d ca? ? ? ?? ? ? ???? ? ???????? ? ???????解 的 聯(lián) 立 方 程 組 ， 得 () 則初值問題的解為 ? ? ? ? ? ? ? ?11, 22 x a tx a tu t x x a t x a t da? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? () 此式稱為達(dá)朗貝爾公式。 這樣，一維波動(dòng)方程描寫以速度 a 沿 x 正負(fù)兩個(gè)方向傳播的行波。 通解具有鮮明的物理意義。波動(dòng)方程的特征線是非常重要的概念，有著非常最重要的作用。除了振動(dòng)問題外，它還可以描寫電磁波及聲波的傳播現(xiàn)象。特征曲面因此，不適定問題亦被人們所關(guān)注。 在物理意義上，所討論的狀態(tài)唯一確定應(yīng)是不成問題的，但是從自然現(xiàn)象到偏微分方程的定解問題，總要加一些條件，做一定的簡(jiǎn)化，所以得到的只是自然現(xiàn)象的近似描述。適定性的研究也是定解問題的近似解法的前提與基礎(chǔ)。研究這些問題的 解法，用盡可能方便的方法求出解的表達(dá)式，再對(duì)表達(dá)式進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，得出所討論問班的定量結(jié)果，是教學(xué)物理方程的中心問題。顯然 ).(),( rmzyxF ?? () 我們將 rmzyxV ?),( 稱為引力場(chǎng)的位勢(shì)函數(shù)。 f=0稱為拉普拉斯 (Laplace)方程。 初始條件就是給出初始時(shí)刻 t=0的溫度分布： ??? ),(,),()0,( zyxzyxzyxu ? () 邊界條件也有三種不同提法： Ⅰ：邊界溫度已知 VV zyxu ?? ? ),(? () Ⅱ：邊界熱流密度已知 9 VVnVn tzyxfk tzyxQnunukQ ??? ?????????? ),(),( () Ⅲ：與外界自由熱交換 微元分析法：在邊界面上 (x,y,z)處取一小微元 ds,厚度基本上沒有，在 ? ?dttt ?,內(nèi) 從物體表面處流出的熱量與溫度差 vu? 成正比： ,)( 1 d S d tvukn d S d tuk ???? （ ） 即 ).(1 vuknuk ????? () 于是 u 滿足 ,0,),(,),( ?tzyxtzyxunu ??????? ?? () 其中 vkkkk 11 ,0 ?? ?? ? 為已知數(shù)據(jù)。 當(dāng)考慮物體內(nèi)熱量傳導(dǎo)問題，即求物體內(nèi)溫度分布。 弦振動(dòng)方程、博膜振動(dòng)方程及上述電磁波或聲波傳播方程統(tǒng)稱為波動(dòng)方程。 所謂膜指的是有彈性的柔軟薄片，理想當(dāng)中，它柔軟到以至彎曲變形時(shí)遇到的抵抗力都可以忽略不計(jì)。 求弦振動(dòng)方程（ ）滿足初始條件及某邊界條件的解，構(gòu)成所謂的定解問題，分別稱為第一、第二及第三初邊值問題，統(tǒng)稱混合問題。0,0),(,0),0( ?ttlutu ?? () 5 或 .0,)(),(,)(),0( ?ttvtluttu ?? ? () 這種邊界條件稱為第一邊界條件。 取弦上任意區(qū)間 ? ?ba, 相應(yīng)的一段（見圖 ），作用在兩端的張力 1T , 2T 的大小均為 T ，故他們的垂直分量分別為 ),(),(1),(s i n),(),(1),(s i n22tbTutbutbuTTtaTutautauTTxxxxxx??????????? () 4 其中α，β分別是弦在 a， b 處切線與 x 軸 的夾角，因此， tan α =ux(a,t)， tan β =ux（ b,t）。將其拉緊后作微小的橫振動(dòng)。 167。 波動(dòng)方程的導(dǎo)出及其定解問題 振動(dòng)是怎樣傳播的呢？我們將弦認(rèn)定柔軟的，即在放松的條件下，把弦彎成任意的形狀，他都保持靜止。正是這種聯(lián)系使我們有可能 從邊界條件和初始條件去推算 u 在任意地點(diǎn) (x,y,z)和任意時(shí)刻 t 的值 u(x,y,z,t).而物理的聯(lián)系總是要通過中介的，它的直接表現(xiàn)只能是“在鄰近地點(diǎn)和鄰近時(shí)刻所取的值之間的關(guān)系式 .這種鄰近地點(diǎn)、鄰近時(shí)刻之間的關(guān)系式往往是偏微分方程 .物理規(guī)律用偏微分方程表達(dá)出來，叫作數(shù)學(xué)物理方程 .數(shù)學(xué)物理方程，作為同一類物理現(xiàn)象的共性，跟具體條件無關(guān) .在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)物理方程本身 (不連帶定解條件 )叫作泛定方程 . 這樣，問題在數(shù)學(xué)上的完整提法是 :在給定的定解條件下，求解數(shù)學(xué)物理方 2 程 .這叫作數(shù)學(xué)物理定解問題，或簡(jiǎn)稱為定解 問題 . 3 1 二階偏微分 方程的 導(dǎo)出 與簡(jiǎn)化 據(jù) 文獻(xiàn) 【 1】 導(dǎo)出的一些常見的數(shù)學(xué)物理方程可知，它們分別屬于三種類型：即波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程、和穩(wěn)定場(chǎng)方程。 第 1 章 方程的導(dǎo)出與簡(jiǎn)化 .......................................................................................... 2 波動(dòng)方程的導(dǎo)出及其定解問題 ...................................................................... 2 弦的振動(dòng)方程及其定解問題 .................................................................. 2 膜 的振動(dòng)方程及其定解問題 .................................................................. 5 電磁波或聲波傳播方程 .......................................................................... 5 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出及其定解問題 .................................................................. 6 位勢(shì)方程及其定解問題 .................................................................................. 8 定解問題的適應(yīng)性 ......................................................................................... 9 二階偏微分方程的分類 ............................................................................... 10 第 2 章 泛定方程的求解 ............................................................................................ 14 達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo) ................................................................................... 16 解波動(dòng)方程混合問題的分離變數(shù)法 ........................................................... 17 具狄利克雷邊界條件的弦自由振動(dòng)方程的混合問題 ........................ 17 具諾依曼 與羅賓邊界條件的弦自由振動(dòng)方程的混合問題 ................ 22 非齊次問題的解法 ................................................................................ 26 泊松方程 .................................................................................................... 28 分離變數(shù)法小結(jié) ........................................................................................ 28 參考文獻(xiàn) ...................................................................................................................... 29 1 引言 為 解決 當(dāng)時(shí)面臨的 問題，當(dāng)然首先必須掌握所研究的物理量在空間中的分布規(guī)律和時(shí) 間中的變化規(guī)律，這就是物理 課程中所研究并加以論述的物理規(guī)律，它是解決問題的依據(jù) .物理規(guī)律反映同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，即普遍性，亦即共性 。 本學(xué)位論文屬于 不保密□。本人完全意識(shí)到本申明的法律后果由本人承擔(dān)。 關(guān)鍵詞 ：物理，普遍性與特殊性，邊界條件，初始條件，在一定的條件下，數(shù)學(xué)物理方程，數(shù)學(xué)物理定解問題的廣義方程，解決問題。 I 江西師范大學(xué) 2022 屆本科畢業(yè)論文 常見二階偏微分方程的建立和定解問題 The mon two order partial differential equation and the solution 院系名稱 ： 物理與通信電子學(xué)院 學(xué)生姓名 ： 黃瑜 學(xué)生學(xué)號(hào) ： 0907020222 專 業(yè) ： 物理學(xué) 指導(dǎo)老師 ： 馬善均 完成時(shí)間 ： 2022 年 4 月 II 摘要 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)研究質(zhì)點(diǎn)的位移怎樣隨著時(shí)間而變化，電路問題研究電流或電壓怎樣隨著時(shí)間而變化 。 這些問題中的自變數(shù)就不僅僅是時(shí)間，而且還有空間坐標(biāo) 。對(duì)本文的研究作出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式表明。 保密□，在 年解密后適用本授權(quán)書。 原創(chuàng)聲明 .................................................................. III 使用授權(quán)書 ................................................................. III 引言 ........................................................ 錯(cuò)誤 !未定義書簽。 為了解和計(jì)算隨著時(shí)間而發(fā)展變化的問題，還必須考慮到研究對(duì)象 的特定“歷史”，即它在早先某個(gè)所謂“初始”時(shí)刻的狀態(tài)，即初始條件 . 邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，即問題的特殊性，亦即個(gè)性 .在數(shù)學(xué)上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件 . 現(xiàn)在，說一說物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示 .物理規(guī)律， .用數(shù)學(xué)的語言“翻譯”出來，過是物理量 u 在空間和時(shí)間中的變化規(guī)律，換句話說，它是