常微分方程--第二章一階微分方程的初等解法(21-23)-展示頁
2024-12-17 09:04本頁面
【正文】 dx?? ?()y P x y? ?( ( ) )e x p P x dx? ?后得 兩端同乘以 化為 ( ) 0y P x y? ?? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 線性非齊次方程 給方程兩邊乘以函數(shù) 兩種解法 變成一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， ，使方程 [ ( ) ] e x p ( ( ) ) ( ) e x p ( ( ) )y P x y P x d x Q x P x d x? ? ? ? ???整理得 ： [ e x p ( ( ) ) ] ( ) e x p ( ( ) )y P x d x Q x p x d x?? ? ???積分得通解 ： e xp ( ( ) )p x dx? ?? ?( ( ) ) ( ) e x p ( ( ) )y e x p p x d x C Q x P x d x d x? ? ?? ? ?e xp ( ( ) )P x dx? ?稱為方程的 積分因子 。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 求線性齊次方程 0yy???（ ） 的通解。 若 39。yy定義 一階線性微分方程 。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。求雪球的體積隨時間變化的關(guān)系。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、 可化為齊次方程的方程 )(111 cybacbyaxfdxdy?????形如 的方程可化為齊次方程 . 其中 111 , cbacba都是常數(shù) . 1. 當 01 ?? cc時 , 此方程就是齊次方程 . 2. 當 0212 ?? cc時 , 并且 (1) 011??? ba ba 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此時二元方程組 ?????????0011 cybxacbyax有惟一解 ., ?? ?? yx引入新變量 ., ???? ???? yx此時 , 方程可化為齊次方程 : ).(11 ??????babafdd??? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 若 011??? ba ba則存在實數(shù) ,?使得 : , 11 bbaa ?? ??或者有 ., 11 bbaa ?? ??不妨是前者 , 則方程可變?yōu)? ).(111 cybxacbyaxfdxdy?????令 ,byaxz ??則 ).(1czczbfadxdybadxdz??????? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 對特殊方程 )( cbyaxfdxdy ???令 ,byaxz ??則 ).( czbfadxdz ??? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 的通解。 引入一個新變量化為變量可 分離方程 求解思想 : 求解。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：求方程通解時，我們假設(shè) ( ) 0gy ? 若 ( ) 0gy ?時得 y值也可能為方程的解。 167。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分方程課程的一個主要問題是求解， 即把微分方程的解通過初等函數(shù)或它們的積分表達出來，但對一般的微分方程是無法求解的，如對一般的 二元函數(shù) ),( yxf ，我們無法求出一階微分方程 ),( yxfy ?? （ 1） 的解，但是對某些特殊類型的方程，我們可設(shè)法轉(zhuǎn)化為已解決的問題 第二章 一階微分方程的初等解法 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 變量分離方程與變量變換法 線性微分方程與常數(shù)變易法 恰當微分方程與積分因子 一階隱式方程與參數(shù)表示 習(xí)題課 本章主要內(nèi)容有一下幾點： 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 形如 39。 ( ) ( )y f x g y? （ ） 的方程稱為 變量分離方程 。 變量分離方程與變量變換 這里 )(),( ygxf是連續(xù)函數(shù) . 該方程的特點 :方程的右端是兩個獨立的一元函數(shù)之積 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、 變量可分離方程的求解 當 ( ) 0gy ? 方程（ ）兩邊同除以 ()gy 得 ()()dy f x d xgy ?這樣對上式兩邊積分得到 ()()dy f x d x Cgy ????例 32dyxydx ?的通解。所以要考慮 ( ) 0gy ? 的情況， 解： 變量分離后得 .23xdxdyy ??上式兩邊積分得 .ln2121cxy ??? ?整理得 22144( l n ) ( l n )y x c c x???其中 .1cec ?該解 在 0?x 無定義 , 故通解在 Rxx ?? ,0 中有定義 . 該方程對應(yīng)的解我們稱為 常數(shù)解 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 求微分方程 )101( xxdtdx ??的通解 . 解 : 變形為 dtxxdx ?? )101(積分得 : 1)101(Cdtxxdx ?????求積分得 : 110ln Ctxx ???解得 : tCeexx 110 ??? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 記 ,21 Ce C ??則 .0,1 10 22??? ? CeCx t因為 0)101( ?? xx可得 .10,0 ?? xx故所有的解為 : .10,0,1 102???? ? xxeCx t 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 齊次方程 齊次函數(shù) : 函數(shù) ),( yxf 稱為 m次齊次函數(shù) , 如果 .0),(),( ?? tyxfttytxf m齊次方程 : 形如 ()dy yFdx x? 的方程稱為 齊次方程 。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 求下面初始值問題 22( ) ( 1 ) 0y x y d x x d y y? ? ? ?解：方程為一齊次方程，令 y xz?求導(dǎo)后得 21dzxzdx ??分離變量得 211dz dxxz ??事實上 , 令 ,xyz ?則 ., dxdzxzdxdyxzy ???故有 ).( zFdxdzxz ??即 .)( zzFdxdzx ?? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 積分上式得 2l n 1 l n l nz z x C? ? ? ?用 yz x?代入得 21z z Cx? ? ? 221yy Cxxx? ? ?利用初始條件 (1) 0y ? 可定出 1c?代入上式解出 21 ( 1 )2yx??注 :當方程右端是一些線性分式函數(shù)時，可化為 齊次方程。 13d y x yd x x y?????解： 解方程組 1030xyxy? ? ??? ? ? ??得 12xy???? ??令 1
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