常微分方程初等解法及其求解技巧畢業(yè)論文(文件)
【正文】 .??dxufug1?由此，化為變量分離方程，兩邊積分并代回原來(lái)的變量，可求出方程的解 .類型 4：形如7 ()??xyfd?2的方程是變量分離方程.做變量替換 ,xyu?則 ()2xdy?代入原方程，得 () ??dxuf1??()就是變 量分離方程.類型 5：形如 ()???????2xyfd的方程是變量分離方程.做變量替換,2xyu?則，有 ()xuddy2??將（）代入() 中，得，??xf1?所以，原方程同樣是變量可替換方程.類型 6：形如 () )(xyfd?8的方程是變量分離方程.做變量替換 ,xyu?則 ()2xdy?代入原方程，得,??dxuf1??是變量分離方程.類型 7：形如 ()??byaxd??其中 、 滿 足 ）的方程.??????可令 ，方程 ()化為齊次方程1?zy ，???????????????bxzdxz?1事實(shí)上 ，()ydzdxx???由于，???? bzxbzz ???所以 ，???axdz??1即 ，????????????????bxzxz?再設(shè) ，zu?變量分離求解方程是一種相當(dāng)簡(jiǎn)潔的解法，也是最基本的解法，求解變量可分離的9微分方程，關(guān)鍵是在正確的分離變量與計(jì)算不定積分，要理解隱式解存在的根據(jù)是隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，并應(yīng)該注意不要遺漏可能存在的常數(shù)解.對(duì)于比較復(fù)雜的方程，需經(jīng)過(guò)變量替換或等價(jià)變形使之轉(zhuǎn)換成變量分離方程，最后利用變量分離求解，變量代 換是求解一階微分方程的一種重要方法，在一階微分方程的初等解法中具有重要的作用. 常數(shù)變易法常數(shù)變易法是求解一階非齊次線性常微分方程的重要方法，即將常數(shù)變易為待定函數(shù)，通過(guò) 求解待定函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)而求出原方程通解，常數(shù)變易法實(shí)際上也是一種變量變換方法，通過(guò)變換可將方程化為變量分離方程. 一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法對(duì)于一階線性齊次方程 ，它的通解 為 .從此出發(fā)，將通解0)(???yxp???dxpcey)(中的任意常數(shù) 換成待定函數(shù) ，假 設(shè)cu （）??dxpe)(為一階線性非齊次方程 （） )(xqyp???的解，為了確定 ，將（）代入（）的左邊，得到)(xu. ????dxpeuyxp)()(從而得到，)()()(qdxp????即，??dxpeu)()(積分后得到 ，cdxeqxp???)()(其中 代入（）中，得到方程（）的通解為c)(u.))()()( cxeeydpdxp??? 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，通常被稱為常數(shù)變易法. 例 解方程 .xdyy??)1(210 解 方程變形為 ，令 ，則3xyd??2??z，dxy3代入變形方程為，xzz2??利用常數(shù)變易法，其中 ， ，則它的通解為xp2)(?q)(，2xcz??代回原來(lái)的變量 ，得到 ,即原方程的通解為y221?.cxy??42此外，方程還有解.0y 一階非線性微分方程的常數(shù)變易法個(gè)別的一階非線性微分方程，可用常數(shù)變易法求解，下面介紹四種形式非線性微分方程的常數(shù)變易法，包括齊 次方程、 貝努力方程和黎卡提方程等的常數(shù)變易法. （）xyd?對(duì)這種方程的解法，在一般教科書(shū)中都是首先把它化為可分離變量方程，然后根據(jù)可分離變量方程的解法去解，在這里我們可以直接用常數(shù)變易法求解.根據(jù)常數(shù)變易法，先求出原方程“對(duì)應(yīng)”的齊次方程 的通解為xyd?,cxy?再令11 （）xcy)(?則有 ，??)()(xcgxc??即 ，即 .??xcgd)()(???dxcg?)(兩邊積分就可以求出 ,然后再代入（），便得原方程的通解.例 求方程 yyxtan???解 將方程改寫(xiě)為 ，可以求得它 “對(duì)應(yīng)”的齊次線性方程 的通dt? xyd?解為 ，再令 ，代入原方程可得cxy?xcy)(,)(tan)(xcdxc?即 ，xc)(tan兩邊積分得 （其中 是任意常數(shù)），cx?)(sin代回變量，得原方程的通解為 （其中 是任意常數(shù)）.cxy?sin2 伯努利微分 （）nyxQpdxy)(?其中 , 為 的連續(xù)函數(shù), .對(duì)于伯努利方程，在一般
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