常微分方程答案一二章(文件)
【正文】 則所以對任意正整數都成立。㈣. 證明是積分方程(*)在上的唯一解。解：對任意充分大的，令，則在上連續(xù)且關于滿足Lipschitz條件，故存在唯一解。又當時，；時，故由推論，延拓解的飽和區(qū)間為。所以，原方程特解為，故所求通解：(20) （不屬于類型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的混合，用常數變易法求解）解：齊次方程：特征方程：特征根：齊次方程通解：設原方程通解為，則所以所求通解：3. 求下列方程的通解：(1) 解：做變換，則所以原方程可化為由可得所求通解：。解：因為是方程的基本解組，故的通解為由可得，由可得，又和線性無關，所以適合初值條件及的基本解組為，從而 的通解又可表示為故由可得，于是適合初值條件的解為2. 求解下列常系數線性微分方程：(1) 解：特征方程：特征根：基本解組：所求通解：(2) 解：特征方程：特征根：基本解組：所求通解：(3) 解：特征方程：特征根：基本解組：所求通解：(4) 解：特征方程：特征根：基本解組：所求通解：(5) （屬于類型Ⅰ）解：齊次方程：特征方程：特征根：當，齊次方程通解：，此時0不是特征根，故設特解為，將其代入原方程可得，從而特解為，所以所求通解：當，0是二重特征根，故齊次方程通解：，設特解為，則將其代入原方程可得，從而特解為，所以所求通解： (6) （屬于類型Ⅰ）解：齊次方程：特征方程：特征根：齊次方程通解：0不是特征根，故設特解為，將其代入原方程可得，從而特解為，所以所求通解：(7) （屬于類型Ⅰ）解：齊次方程：特征方程：特征根：齊次方程通解：方法一：常數變易法求解設原方程通解為，則所以將代入中即得原方程通解：方法二：比較系數法求解由于0不是特征根，故設特解為，將其代入原方程可得，從而特解為，所以所求通解：(10) （屬于類型Ⅱ）解：齊次方程：特征方程：特征根：齊次方程通解：由于1是一重特征根，故設特解為，將其代入原方程可得，從而特解為，所以所求通解：(12) （屬于類型Ⅱ）解：齊次方程：特征方程：特征根：齊次方
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