數(shù)值分析--第9章常微分方程數(shù)值解(文件)
【正文】 條件，問題(91)的初值是精確的，即，則單步法的整體截?cái)嗾`差為證明 由已知，關(guān)于滿足Lipschitz條件，故存在，使得對(duì)任意的及，都有記，因?yàn)閱尾椒ň哂须A精度，故存在，使得從而有反復(fù)遞推得因?yàn)?，即，又，于是所以推? 設(shè)單步法具有()階精度，增量函數(shù)在區(qū)域：上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件，則單步法是收斂的。而穩(wěn)定性則是討論舍人誤差的積累能否對(duì)計(jì)算結(jié)果有嚴(yán)重影響的問題。由此再計(jì)算一步，得到把它與不考慮舍人誤差的Euler計(jì)算公式相減，并記，就有其中。當(dāng)時(shí)，為了滿足收斂性要求(929)，有時(shí)要很小，這樣步數(shù)就相當(dāng)多，這時(shí)誤差的累積可能是十分嚴(yán)重的，出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。它隨著的增大而增大，與所選的數(shù)值方法無關(guān)，是問題本身固有的特性。式(932)中取，則歐拉公式的具體形式為。為了只考察數(shù)值方法本身，一般只檢驗(yàn)數(shù)值方法用于求解模型方程的穩(wěn)定性，模型方程為 (933)其中為復(fù)數(shù)。若有個(gè)不同的特征值，則可對(duì)角化為，再作變換，得到個(gè)非耦合的方程，其中可以復(fù)數(shù)，所以一般討論(933)中的為復(fù)數(shù)。因?yàn)橥ㄟ^點(diǎn)試驗(yàn)方程的解曲線（它滿足）為，而一個(gè)階單步法的局部截?cái)嗾`差在時(shí)有，所以有 (935)這樣可以看出是的一個(gè)近似值。在上述定義中，規(guī)定嚴(yán)格不等式成立，是為了和線性多步法的絕對(duì)穩(wěn)定性定義一致。而為實(shí)數(shù)時(shí)，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間是。圖94 圖95(3) RK方法的穩(wěn)定性與前面的討論相仿，將RK方法用于模型方程(933)，可得二、三、四階RK方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域分別為當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，三、四階顯式RK方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域分別為。對(duì)于一般方程，在考慮穩(wěn)定性對(duì)步長的限制時(shí)，常用代替（因?yàn)榍懊孀儞Q中），只要步長的選取使得在所用方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)即可。多步法中最常用的是線性多步法，其一般公式是 (936)其中均為常數(shù)。 線性多步法公式的推導(dǎo)利用Taylor展開導(dǎo)出線性多步公式(936)的基本方法是：將線性多步公式(936)在處進(jìn)行Taylor展開，然后與在處的Taylor展開式相比較，要求它們前面的項(xiàng)重合，由此確定參數(shù)。下面介紹幾個(gè)常用的線性多步法公式。由于線性多步法公式(936)，只有在知道了前面的之后，才能使用。一般地，同階的隱式法比顯式法精確，而且數(shù)值穩(wěn)定性也好。這樣就構(gòu)成了預(yù)測(cè)校正系統(tǒng)。下面分別對(duì)Adams預(yù)測(cè)校正公式與MilneHamming公式進(jìn)行討論。(1) 輸入(2) 置(3) 計(jì)算輸出(4) 若，置，返回3；否則，置，轉(zhuǎn)6。例如，對(duì)問題(961)，Euler方法的計(jì)算公式為 (962)其中，其分量形式為改進(jìn)Euler法的計(jì)算公式為 (963)經(jīng)典四階RK公式為 (964)其分量形式為 (965)一般地，用于問題(961)的單步法公式為其中是元的維向量函數(shù)。設(shè)有階常微分方程初值問題 (969)引入新變量，問題(969)就化為一階微分方程組初值問題 (970)例7 用四階RK方法求解初值問題 (971)解 引入新變量，問題(971)化為如下形式按式(969)，(970)求解。設(shè)有初值問題 (966)它的經(jīng)典四階RK公式為 (967) (968)計(jì)算過程為從節(jié)點(diǎn)處的近似解出發(fā)，按式(968)順序計(jì)算，將所得結(jié)果代人式(967)，即得處的近似解。5 一階微分方程組與高價(jià)微分方程的數(shù)值解法 一階微分方程組的數(shù)值解法設(shè)有一階微分方程組的初值問題 (960)若記，則初值問題(960)可寫成如下向量形式 (961)如果向量函數(shù)在區(qū)域：連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件，即存在，使得對(duì)，都有那么問題(961)在是存在唯一解。完全類似地，可以導(dǎo)出多環(huán)節(jié)的MilneHamming預(yù)測(cè)校正公式（也稱為Hamming方法） (959)上述預(yù)測(cè)校正公式的優(yōu)點(diǎn)是每算一步只需計(jì)算兩個(gè)函數(shù)值，計(jì)算量小于四階RK方法，而且在計(jì)算過程中已大致估計(jì)出誤差。(2) 有時(shí)為提高精度，校正公式可迭代進(jìn)行多次，但迭代次數(shù)一般超過3次。因此實(shí)際計(jì)算時(shí)，很少單獨(dú)使用顯式公式或隱式公式，而是將它們聯(lián)合使用：先用顯式公式求出的預(yù)測(cè)值，記作，再用隱式公式對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行校正，求出的近似值。例6 分別用四階Adams顯式和隱式公式求初值問題的數(shù)值解，取。特別取，可解得相應(yīng)的線性多步法公式為 (944)因?yàn)椋?944)稱為Adams顯式公式，它是四階公式，局部截?cái)嗾`差為 (945)如果令，由式(943)可得解相應(yīng)的線性多步法公式為 (946)因?yàn)?，?946)稱為Adams隱式公式，它是四階公式，局部截?cái)嗾`差為 (947)二、米爾恩（Milne）公式對(duì)方程組(942)，令，解出相應(yīng)的線性多步法公式 (948)稱為Milne公式，其局部截?cái)嗾`差為
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