【正文】 統(tǒng)的常微分方程，從而引發(fā)了對(duì)停頓百年的常微分方程可積性的研究熱潮．常微分方程的研究領(lǐng)域其它學(xué)科或領(lǐng)域的結(jié)合而出現(xiàn)各種新的研究分支，如控制論、種群生態(tài)學(xué)、分支理論、泛函微分方程、脈沖微分方程、廣義微分方程、時(shí)標(biāo)微分方程等． 常微分方程[3]屬于數(shù)學(xué)分析的一支，是數(shù)學(xué)中與應(yīng)用密切相關(guān)的基礎(chǔ)學(xué)科，其本身也在不斷發(fā)展中，學(xué)好常微分方程基本理論與方法對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用非常重要． 而常微分方程邊值問(wèn)題則是微分方程理論研究的一個(gè)基本問(wèn)題，也是最為重要的課題之一． 它在應(yīng)用科學(xué)和工程領(lǐng)域有著非常重要的作用，例如工程學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及生物學(xué)等領(lǐng)域中的許多實(shí)際問(wèn)題通常會(huì)歸結(jié)為常微分方程邊值問(wèn)題的求解． 雖然常微分方程問(wèn)題有許多解析方法可以求解，但這些方法只能求解一些特殊類型的方程，對(duì)從實(shí)際問(wèn)題中提煉出來(lái)的微分方程往往不再適用，因而對(duì)常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值方法的研究就顯得尤為重要． 經(jīng)典的數(shù)值方法有: 試射法（打靶法）和有限差分法[4]．而用打靶法求解線性問(wèn)題時(shí)，解的精度較高，這是因?yàn)榇虬蟹▽⑦呏祮?wèn)題的求解方法轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的初值問(wèn)題的求解，因而可以使用具有較高精度的Runge_Kuta法，但是算法的穩(wěn)定性較差．常微分方程邊值問(wèn)題已被深入而廣泛地研究，并取得了系統(tǒng)而深刻的結(jié)果．科學(xué)和工程技術(shù)中有許多實(shí)際問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為微分方程的求解問(wèn)題，而大量的微分方程很難求出其解析解，因此，微分方程的數(shù)值解法的研究就顯得具有重要意義．邊值問(wèn)題主要研究微分方程的求解及解的性質(zhì)，其補(bǔ)充條件由以自變量取某些值時(shí)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的值而定，許多數(shù)學(xué)和物理問(wèn)題都可以歸結(jié)為微分方程邊值問(wèn)題．解這類問(wèn)題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也就是要把研究的問(wèn)題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，從列出的包含未知函數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式．但是無(wú)論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面，都和初等數(shù)學(xué)中的解方程有許多不同的地方． 常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等．下面就方程解的有關(guān)幾點(diǎn)簡(jiǎn)述一下，以了解常微分方程的特點(diǎn)．求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問(wèn)題所需要的特解．也可以由通解的表達(dá)式，了解對(duì)某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究． 后來(lái)的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實(shí)際應(yīng)用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解．當(dāng)然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到定解問(wèn)題上來(lái)． 一個(gè)常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個(gè)呢？這是微分方程論中一個(gè)基本的問(wèn)題，數(shù)學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理[5]．因?yàn)槿绻麤](méi)有解，而我們要去求解，那是沒(méi)有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定．因此，存在和唯一性定理對(duì)于微分方程的求解是十分重要的． 大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解．當(dāng)然，這個(gè)近似解的精確程度是比較高的．另外還應(yīng)該指出，用來(lái)描述物理過(guò)程的微分方程，以及由試驗(yàn)測(cè)定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決． 邊值問(wèn)題及其求解發(fā)展過(guò)程的介紹： 一般地說(shuō)，n 階微分方程的解含有 n個(gè)任意常數(shù)．也就是說(shuō)，微分方程的解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)和方程的解數(shù)相同，這種解叫做微分方程的通解．通解構(gòu)成一個(gè)函數(shù)族． 如果根據(jù)實(shí)際問(wèn)題要求出其中滿足某種指定條件的解來(lái)，那么求這種解的問(wèn)題叫做定解問(wèn)題，對(duì)于一個(gè)常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解．對(duì)于高階微分方程可以引入新的未知函數(shù)，把它化為多個(gè)一階微分方程組．微分方程是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式．如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，我們稱這種微分方程為常微分方程[5]．一般的n階常微分方程具有形式那么，二階常微分方程的形式為: 牛頓在研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律．后來(lái),法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置．這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量． 微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法．微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支． 現(xiàn)在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用[6]，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等．這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題．應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門(mén)學(xué)科的理論更加完善. 第二章 邊值問(wèn)題的數(shù)值解法 有限差分法是用于微分方程定解問(wèn)題最廣泛的數(shù)值方法，其基本思想是以差商近似代替導(dǎo)數(shù)，把微分方程化離散為差分方程組，并把相應(yīng)的解作為微分方程定解條件的近似解.在本節(jié)我們討論有關(guān)邊值的問(wèn)題，介紹兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的一種數(shù)值解法——有限差分法[7].167。對(duì)于任給如果數(shù)值解當(dāng)(同時(shí))時(shí)趨向準(zhǔn)確解，則稱該差分方程是收斂的.現(xiàn)在運(yùn)用極值原理證明差分方程的收斂性并估計(jì)誤差.定理3 設(shè)是差分問(wèn)題(232)的解，而是邊值問(wèn)題(231)的解在節(jié)點(diǎn)的值，則截?cái)嗾`差有下列估計(jì)式： (241)證明略，可參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[12].167。 二階常微分方程算例的數(shù)值解例1：應(yīng)用差分格式計(jì)算邊值問(wèn)題 (31)該定解問(wèn)題的精確解為 ．由下面三個(gè)表格中可以看出，當(dāng)步長(zhǎng)變小時(shí)，誤差也隨之變?。?，誤差的精度達(dá)到．當(dāng)步長(zhǎng)縮小為原來(lái)的一半時(shí)，誤差精度變?yōu)椋?，誤差精度就達(dá)到．、精確解和誤差值。 例1程序精確解clear。b=1。x(1)=[]。x(N)=[]。數(shù)值解clear。b=1。x(1)=[]。 r(i)=2*exp(x(i)*x(i))。endA=diag(b1)+diag(a1,1)+diag(c1,1)。D=d139。g39。t=exp(1)。h=(ba)/(N1)。for i=1:N1 q(i)=2*x(i).^2。endfor i=1:N2 c1(i)=1+h*p(i)/2。for i=2:N2 d1(i)=h.^2*r(i)。for i=1:N1 R(i)=exp(x(i).^2)。endE=abs(E)39。 167。x(1)=[]。x(N)=[]。數(shù)值解clear。b=1。x(1)=[]。 r(i)=3*exp(x(i))。endA=diag(b1)+diag(a1,1)+diag(c1,1)。D=d139。g39。t=exp(1)。h=(ba)/(N1)。for i=1:N1 q(i)=2。endfor i=1:N2 c1(i)=1+h*p(i)/2。for i=2:N2 d1(i)=h.^2*r(i)。for i=1:N1 R(i)=x(i).*exp(x(i))。endE=abs(E)39。g39。x(N)=[]。D=d139。endA=diag(b1)+diag(a1,1)+diag(c1,1)。 r(i)=3*exp(x(i))。x(1)=[]。b=1。求解誤差clear。x(N)=[]。for i=2:N2 d1(i)=h.^2*r(i)。endfor i=1:N2 c1(i)=1+h*p(i)/2。for i=1:N1 q(i)=2。h=(ba)/(N1)。t=exp(1)。r39。for i=1:N1 R(i)=x(i).*exp(x(i))。N=101。