【正文】 微分方程的通積分為其中為任意常數(shù)。在定理2中令，則有下面的推論。令，則有代入方程可得化簡(jiǎn)可得：又因?yàn)槭欠匠讨袑?duì)應(yīng)的方程：的一個(gè)不恒為零的解。令，則有代人方程即得：化簡(jiǎn)可得：又所以上式可變?yōu)椋涸倭畈⒋肷鲜娇傻茫? （3）可知（6）為關(guān)于z的一階非線性常微分方程，可用常數(shù)變易法對(duì)其進(jìn)行求解，對(duì)其積分可得，再乘以即可得到（4）的通解： 具有幾個(gè)定理性質(zhì)的可用常數(shù)變易法的方程具有以下幾個(gè)定理性質(zhì)的方程均可以通過(guò)常數(shù)變異法進(jìn)行求解[11]：定理l 若 ,則二階非線性微分方程 （1）的通積分為 （2）其中為任意常數(shù)。 基本方法VII 求解：。 基本方法Ⅱ 求方程的通解。對(duì)于形如具有上述的形式即可通過(guò)各自的方法進(jìn)行求解，因?yàn)椴⒉皇撬械姆蔷€性常微分方程均可以用常數(shù)變異法來(lái)求解。 我們還可以推出下面三個(gè)定理： 一,一階常微分方程可用常數(shù)變異法求解的一個(gè)充分條件是：，其中M(x)，N（x）在所考慮的區(qū)間上連續(xù)，N（x，y）0。 基本類(lèi)型IV 的通解為 設(shè)原方程的通解為： 代入原方程可得：可知其為可分離變量的常微分方程，可求出c（x）。那么還有有哪些非線性的常微分方程可以用常數(shù)變異法來(lái)求解呢？下面給出幾種。一階非線性常微分方程的一般形式為：F（x，y，dy/dx）=0 （1）如果能從（1）中求出dy/dx，并且dy/dx可以用下式來(lái)表示dy/dx=M（x）N（y）+f（x，y） （2）可以看出（2）式是可分離變量的常微分方程，所以（2）式就可以用常數(shù)變異法來(lái)求解。然后將所探討的結(jié)果進(jìn)行分析、歸納和總結(jié)，并給出每種計(jì)算方法的特點(diǎn)和適用條件。同時(shí)，分析了兩類(lèi)非線性常微分方程之間的聯(lián)系，即降階法。在實(shí)際的計(jì)算中，根據(jù)各種計(jì)算方法的特點(diǎn)和使用條件，合適地選擇解法可使計(jì)算簡(jiǎn)化。 一般的高階常微分方程沒(méi)有統(tǒng)一，便捷的解法，處理問(wèn)題的根本解決辦法就是降階，通過(guò)變換把高階的常微分方程的求解問(wèn)題變成較低階的常微分方程來(lái)求解。因此常數(shù)變易法與變量變換法在本質(zhì)上是一樣的，就看我們?cè)谑裁吹胤接媚囊粋€(gè)方法了。那我們可以這樣子做：把（8）式的那個(gè)C換成u，再把這個(gè)u解出來(lái)，那么問(wèn)題不就簡(jiǎn)單了嗎？所謂的“常數(shù)變易法”就是這么來(lái)的，即把常數(shù)C硬生生地變成了u。而最終答案是u再進(jìn)一步：常數(shù)變易法再進(jìn)一步觀察我們可以看出，求v的微分方程（即）其實(shí)就是求當(dāng)N(x)＝0時(shí)的齊次方程。同樣可以十分容易地解出來(lái)： (6)現(xiàn)在u和v都已求出，那么y＝u令，解出v對(duì)應(yīng)x的函數(shù)關(guān)系，這本身就是一個(gè)可以分離變量的微分方程問(wèn)題，可以將其解出來(lái)。這樣求y對(duì)應(yīng)于x的函數(shù)關(guān)系就轉(zhuǎn)變成分別求u對(duì)應(yīng)于x的函數(shù)關(guān)系和v對(duì)應(yīng)于x的函數(shù)關(guān)系的問(wèn)題。不過(guò)我們可以這么想：如果我們巧妙地構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)，使這一項(xiàng)等于零，那不就萬(wàn)事具備了嗎？進(jìn)一步：變量代換法我們可能覺(jué)得要構(gòu)造這么一個(gè)函數(shù)會(huì)很難。不過(guò)，這里還是給了我們一點(diǎn)啟示：如果某一項(xiàng)的變量分離不出來(lái)，那將該項(xiàng)變?yōu)榱闶潜容^好的方法。我們先來(lái)看下面的式子： (1)對(duì)于這個(gè)式子最正常的思路就是“分離變量”。 the method of constant variation。關(guān)鍵詞：常微分方程。 閱讀理解首次積分求得的六個(gè)定理以及推論，將六個(gè)類(lèi)型的方程與常數(shù)變易法相結(jié)合，并對(duì)定理運(yùn)用常數(shù)變易法進(jìn)行證明，求解。 (2 周)評(píng)閱及答辯 (1周)備 注 指導(dǎo)教師： 年 月 日審 批 人： 年 月 日摘 要常數(shù)變易法是求解微分方程的一種特殊方法，利用常數(shù)變易法在解決某些方程特解時(shí)簡(jiǎn)便易用。 本 科 畢 業(yè) 論 文某些非線性常微分方程的常數(shù)變易法 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書(shū)題 目 某些非線性常微分方程的常數(shù)變易法 本論文的目的、意義：本論文的主要目在于通過(guò)對(duì)常微分方程的深入分析，分別對(duì)一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程的性質(zhì)、解法進(jìn)行系統(tǒng)地分析、比較、歸納、總結(jié)，并深入探討兩類(lèi)方程的解法。 學(xué)生應(yīng)完成的任務(wù) 通過(guò)查閱相關(guān)資料，進(jìn)一步掌握常數(shù)變易法的背景，意義及研究現(xiàn)狀； 掌握有關(guān)常數(shù)變易法和非線性常微分方程的基礎(chǔ)知識(shí)； 分析并總結(jié)兩類(lèi)非