某些非線性常微分方程的常數(shù)變易法畢業(yè)論文-預(yù)覽頁
【正文】 基本類型ⅤI……………………………………………………………………………7 舉例 7 基本方法Ⅰ …………………………………………………………………7 基本方法Ⅱ …………………………………………………………………8 基本方法Ⅲ …………………………………………………………………8 基本方法IV ………………………………………………………………...9 基本方法V ………………………………………………………………....9 基本方法VI ……………………………………………………………….10 基本方法VII………………………………………………………………………… 10 基本方法VIII………………………………………………………………………....10第3章 二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例 12 二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法 12 二階非線性常微分方程組的一般形式與解法 12 具有幾個定理性質(zhì)的可用常數(shù)變易法的方程…..………………………13 舉例 13結(jié) 論 22致 謝 23參考文獻 24部分符號對照表 屬于 對任意的 存在() 大于（小于） 大于或等于（小于或等于） 蘊涵或推出 等價或充分必要 集合的并（集合的交） 積分號 求和符號 維實數(shù)空間 求極限dy/dx y對x求導(dǎo)第1章 緒論 引言常數(shù)變易法是常微分方程中解決線性微分方程的主要手段，在教材中都沒有詳細的說明，在這里我給出常數(shù)變易法是如何一步一步推導(dǎo)出來的。這時想想以前解決“齊次方程”時用過的招數(shù)：(1)式: (3)這時u又不能單獨除到左邊來，所以還是不行。當然這些假設(shè)都是不可能的，因為x和M(x)等于幾是你無法干預(yù)的。其中u和v都是關(guān)于x的函數(shù)。怎么變？這是v的用處就有了。剩下的是而這也是一個可以分離變量的微分方程。v代換了y。 得： (8)注意這里的并非最終答案，從上一步我們知道這其實是v而已。把（8）式和上面提到的（7）式比較一下： (7) (8)（7）式是最終的結(jié)論，（8）式是目前我們可以到達的地方。常數(shù)變易法在這里并沒有顯出比變量代換法更好的優(yōu)勢（因為就是變量變換與常數(shù)變易法的正逆推導(dǎo)而已），但在解決高階線性微分方程時就會方便得多。 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們就稱之為常數(shù)變異法。在一般的教材中，往往僅限于對于線性常微分方程的常數(shù)變易法，在此基礎(chǔ)上，本文深入探討了關(guān)于一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法，將所探討的結(jié)果進行系統(tǒng)地分析、比較、歸納和總結(jié)并給出了每種解法的特點和使用條件。另外，關(guān)于兩類非線性常微分方程的常數(shù)變易法的證明使得解法更加的容易理解，思路清晰。第2章 一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例本章分兩節(jié)，第一節(jié)著重介紹關(guān)于一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法，第二節(jié)進行舉例，以便能夠更加了解解題得方法。其中M（x），N（y），f（x，y）在所考慮的區(qū)間上是連續(xù)的，且f（x，y）0。由上可見，常數(shù)變異法可以用來求解非線性常微分方程，但是并不是所有的非線性方程都可以用常數(shù)變異法來求解。 基本類型III 可知這是伯努利方程 的通解為： 設(shè)原方程的通解為 代入原方程可得： 因其為可分離變量常微分方程，所以可求出c（x），伯努利方程可用常數(shù)變異法來求解。 基本類型VI[12] 若非線性常微分方程的形式為： 假設(shè)M（x），N（x，y）在所考慮的區(qū)間上連續(xù)，N（x，y）0。 以上只列舉了八種求解方法，當然還有其他的一些方法。 基本方法Ⅰ 求解 解：將原方程化成形如（2）的形式 的通解為： 設(shè)原方程的通解為： 代入原方程可得： 即，積分得：即所以原方程的通解即為：。 令，代入到原方程可得： 即：，此為可分離變量常微分方程，解得： 所以原方程的通解為：。 設(shè)是方程（1）中對應(yīng)的方程 （2）的一個不恒為零的解。證明:上式可變?yōu)? (a)在這里設(shè)是方程(1)中對應(yīng)的方程： (b)的一個不恒為零的解。定理2 若且，則二階非線性微分方程 （3）的通積分為 （4）其中為任意常數(shù)。在定理3中令，則有下面的推論。推論4 若為非零常數(shù)，則二階非線性微分方程的通積分為。推淪5 若為非零常數(shù)，則 二階非線性微分方程的通積分為，其中為任意常數(shù)。 舉例：求解解：原式可化為：明顯可知是上面方程對應(yīng)的方程：的一個不恒為零的解。：求解解：原式可化為： 明顯可知是上面方程對應(yīng)的方程：的一個不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理4得出。令，則，代回到原式可得：令，則則通過一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理6得出。然后指出我們做非線性常微分方程的方法可歸結(jié)為：線性化，可積化，降階化。論文初期，老師給了我很多相關(guān)的資料和書籍，并指出了需要重點學(xué)習的主要章節(jié)。能夠順利完成這次畢業(yè)論文，離不開鄧老師的大力支持和幫助。1995，16(9)：82l828[8] 李廣民，于力．一類二階非線性微分方程的求積問題．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用敦學(xué)，1996，12(1)：7377[9] 湯光宋．解兩類大量線性微分方程的常數(shù)變易法．贛南師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，1987(2)：8l3[10] 上海師大數(shù)學(xué)系，中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海師院數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．上海：人民教育出版社．1978[11] 陳肖石，湯光榮，利用首次積分求解幾類二階非線性常微分方程，西江大學(xué)學(xué)報,2000年第二期[12] 劉久方，劉學(xué)生，常微分方程中常數(shù)變易法的推廣，大連大學(xué)學(xué)報,2009年第六期
黨政相關(guān)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1