微分方程與微分方程建模法(文件)
【正文】 線，為了證明具有這一性質(zhì)的曲線只有拋物線，我們就是利用了題目中隱含的條件——入射角等于反射角來(lái)建立微分方程模型的[5]。例如從幾何觀點(diǎn)看，曲線y=y(x)上某點(diǎn)的切線斜率即函數(shù)y=y(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；力學(xué)中的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：f=ma,其中加速度a就是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，也是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)；電學(xué)中的基爾霍夫定律等。由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律建立其微分方程模型：求解模型可得：由上式可知，當(dāng)時(shí)，物體具有極限速度：，其中，阻力系數(shù)，為與物體形狀有關(guān)的常數(shù)，為介質(zhì)密度，s為物體在地面上的投影面積。函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。我們假設(shè)時(shí)刻t時(shí)該放射性物質(zhì)的存余量R是t的函數(shù)，由裂變規(guī)律，我們可以建立微分方程模型:期中是一正的比例常數(shù)，與放射性物質(zhì)本身有關(guān)。4．利用微元法建立微分方程模型。這樣，我們就可以建立起該問(wèn)題的微分方程模型：。5．熟悉一些經(jīng)典的微分方程模型，對(duì)一些類似的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)稍加改進(jìn)或直接套用這些模型。1798年，英國(guó)神父Malthus建立了最簡(jiǎn)單的人口增長(zhǎng)模型為得出了人口按幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)的結(jié)論。1837（8）年，荷蘭生物學(xué)家P。2）差分方程模型 上面考慮的是人口群體變化的規(guī)律問(wèn)題，該模型沒(méi)有考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長(zhǎng)率決定。此處還隱含假定所有人的年齡不能超過(guò)m組的年齡。3）偏微分方程模型 當(dāng)我們要考察的量同時(shí)與兩個(gè)變量有關(guān)時(shí)，要想描述其變化率的關(guān)系，則通常要用偏微分方程模型來(lái)描述。 7。設(shè)表示年齡，表示時(shí)間，表示時(shí)刻年齡小于的人口總數(shù)，記為人類壽命的上限，為時(shí)的總?cè)丝跀?shù)，設(shè)為人口密度，為死亡率函數(shù)。記時(shí)段第i年齡組的種群數(shù)量為，記時(shí)段種群各年齡組的分布向量為則我們可以建立人口增長(zhǎng)的差分方程模型為此處L為已知矩陣?？紤]按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型，我們介紹Leslie在20世紀(jì)40年代建立的一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)的人口離散模型。Verhulst修改了上述模型，引入本地區(qū)自然資源和環(huán)境條件允許下的最大人口數(shù)目為，給出了類似于電感器產(chǎn)生阻抗的生物反饋因子，將Malthus模型中的假設(shè)條件“，人口自然增長(zhǎng)率r為常數(shù)”修正為人口自然增長(zhǎng)率為 ，得出上述模型的修正模型該模型為著名的Logistic(邏輯
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