無窮級數(shù)和微分方程(文件)
【正文】 s,40 ??ts 20dd ???tts解 : 特征方程 0122 ??? rr 有重根 ,121 ??? rr因此原方程的通解為 tetCCs ??? )( 21利用初始條件得 ,41 ?C于是所求初值問題的解為 22 ?C*例 7. 的通解 . 解 : 特征方程 ,0522 ??? rr 特征根 : ir 212,1 ??因此原方程通解為 )2s i n2c o s( 43 xCxCey x ??例 8. .3 2線性方程數(shù)齊次為一個特解的二階常系寫出以 xxey ?解：因 xxey 23?是一個特解，所以 2?? 是特征 方程的重根，故特征方程為： 0440)2( 22 ?????? rrr所對應(yīng)微分方程為 044 ?????? yyy(2) 若 ? 是特征方程的 單根 特解形式為 (3) 若 ? 是特征方程的 重根 特解形式為 xm exQxy ?)(* 2?(1) 若 ? 不是特征方程的根 特解形式為 .)(* xQey mx??式時，非齊次方程特解形)()( xPexf mx??的特解形式 . 解 : 本題 而特征方程為 不是特征方程的根 . 特解形式為 0??,0??例 9. 例 10. 的特解形式 . 解 : 本題 ,2?? 而特征方程為 ,0652 ??? rr其根為 特解形式為 xebxbxy 210 )(* ?? 微分方程應(yīng)用 1. 利用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程 2. 利用導(dǎo)數(shù)物理意義列方程 3. 利用牛頓第二定律 求所滿足的微分方程 . *例 11. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 Q PQ xyo x解 : 如圖所示 , 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo) 即 02 ??? xyy點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為 且線段 PQ 被 y 軸平分 , 例 12. 成正比 , 求 解 : 根據(jù)牛頓第二定律列方程 ?tvm dd00 ??tv初始條件為 對方程分離變量 , ? ?然后積分 : 得 )0( ?? vkgm此處利用初始條件 , 得 )(ln1 gmkC ??代入上式后化簡 , 得特解 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時 ( t = 0 ) 速度為 0, )1(tmkek gmv???mg vk?設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系 . kmgv ?t 足夠大時 。 級數(shù)為 發(fā)散 . .]1,1(?故收斂域?yàn)? 例 8..求冪級數(shù) l i m???n 對函數(shù)作恒等變形（如果需要的話） 利用已知結(jié)論，用變量代換或求導(dǎo)積分得所求函數(shù)的冪級數(shù) 寫出收斂范圍 (P34例 137) ?? x1
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