【正文】 25 5. 總結(jié) 本文主要從變量代換法的概念，變量代換法在常微分方程的幾種類(lèi)型中的應(yīng)用包括低階微分方程。同時(shí)，在一些類(lèi)型的常微分方程的一題多解中采用變量代換法往往比較容易。z 的項(xiàng)，即要 ? ? ? ? ? ?2 0 ,u x p x u x? ?? 只需取 ? ? ? ?12 .p x dxu x e? ?? 19 于是，作變換 ? ?12 ,p x dxy ze? ?? () 方程 ()就變成 ? ? 0,z I x z???? () 其中 ? ? ? ? ? ? ? ?211 .42I x q x p x p x?? ? ? 稱(chēng)為不變式 . 當(dāng) ??Ix是以下三種情形時(shí) : (1) ? ?2cIxx?(c 為常數(shù) ),(2) ? ? ? ?? ? ,xIxx??????(3) ? ?Ix? 常數(shù)，可求得方程 ()的有限形式通解，從而也就求出了原方程 ()的有限形式通解，這是因?yàn)? 在情形 (1) ? ?2 ,cIx x?方程 ()是歐拉方程，可求出 ()的有限形式通解； 在情形 (2) ? ? ? ?? ? ? ?,xI x z xx? ????? ? ?是方程 ()的一個(gè)特解，進(jìn)一步可得方程 ()的通解； 在情形 (3) ? ?Ix? 常數(shù) ,方程 ()是常系數(shù)線性微分方程，可求出 ()的有限形式通解 . 例 18 討論 Bessel 方程 ? ?2 2 2 0,x y xy x n y?? ?? ? ? ? () 其中常數(shù) n179。 高階微分方程 高階微分方程的降價(jià) 高階微分方程一般沒(méi)有普遍的解法，通常通過(guò)降階法來(lái)處理問(wèn)題，把高階微分方程通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為較低階的方程來(lái)求解，下面討論三類(lèi)可降階的方程的類(lèi)型： 類(lèi)型 1： ? ? ? ? ? ?? ?1, , , 0 , 1 .k k nF t x x x k n? ?????? ? ? ? 特點(diǎn) :方程不顯含未知數(shù) x 及 ? ?, , .nkx x x ?? ????? 令 ? ? ,kxy? 則方程可降為 nk? 階的方程 ? ?, , , 0 ,nkF t x x x ?? ?????? ?若可求得該方程的通解為 ? ?12, , , ,nky t c c c? ?? ??????則由 ? ? ? ?12, , , ,k nkx y t c c c? ?? ? ?????? 逐次積分 k 次，可得原方程的通解 . 例 13 求解方程 ? ?21 x xt?? ? ?? ? ? 解 原方程是不顯含未知數(shù) x 的二階方程，所以令 ,xy?? 有 ,xy??? 則方程化為21 0,y y yt?? ? ? 即 21 ,y y yt???這是伯努利方程，解之得 212 ,ty Ct? ? 即212 ,tx Ct?? ? 積分得方程的通解為 ? ? 212ln ,x t C t C? ? ? 其中 12,CC為任意常數(shù) . 類(lèi)型 2 : ? ?? ?, , 0 .nF x x x? ?????? ? 特點(diǎn) :方程不顯含自變量 t . 令 ,xy?? 則方程經(jīng)過(guò)變換后，可得 11, , , 0nndy d yG x y dx dx??????? ????? 15 比原方程降低了一階 ,若可解得它的通解為 ? ?1 2 1, , , ,ny t c c c? ?? ?????? 則由 ? ?1 2 1, , , ,ndxy x t c c cdt ? ??? ? ? ??????分離變量，可得原方程的通解 . 例 14 求解方程 ? ?2 x???? 解 令 xy?? ，可得 dyxydx?? ，則原方程化為： 2 0dyxy ydx??得 0y? 或 0dyxydx??，積分得 cy x? ，即 cx x?? ，所以 ? ?2 1 2 1 2x c t c c c? ? ?這就是原方程的通解 . 類(lèi)型 3: ? ? ? ? ? ?1111 0nnnnd y d x dxa t a t a t xdt dt dt???? ? ??? ? ? ? () 特點(diǎn)：變系數(shù)線性齊次方程 . 如果已知方程 ()的 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則 ()可降低 k 階，即可得到 nk? 階的齊次線性方程 .特別地，如果已知 ()的 1n? 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則 ()的基本解組可以求得 . 方程 ()的求解問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為尋求它的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，這一過(guò)程雖然沒(méi)有一般可遵循的方法 (這跟常系數(shù)線性方程有很大的差異 )，但如果知道方程的一個(gè)非零特解，則可通過(guò)線性變換，把方程降低一階；一般情況下，若已知方程 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則可通過(guò)一系列同類(lèi)型的交換將方程降低 k 階，并且新得到的 nk? 階方程也是線性齊次的 . 特別地，對(duì)二階線性齊次方程來(lái)說(shuō)，如果已知它的一個(gè)非零解，就可求出方程的通解 . 事實(shí)上，設(shè) 1 0xx?? 是二階齊次線性微分方程 ? ? ? ?22 0d x dxp t q t xdt dt? ? ? () 的解，通過(guò)變量代換 1x x ydt? ? 后，方程就化成 ? ?1 1 12 0 ,dyx x p t x ydt ???? ? ??? 這是一階線性微分方程 .解得 ??211 ,p t dty c ex ??? 因此 ? ?11 211 ,p t d tx x c c e d tx ??????????? () 這里 1,cc是任意常數(shù) . 16 取 10, 1cc??，我們得到了方程 ()的一個(gè)特解 ? ?1 211 ,p t d tx x e dtx ??? ? 它與 1x 顯而易見(jiàn)是線性無(wú)關(guān)的，因?yàn)樗鼈冎炔⒉皇堑扔诔?shù) .因此，表達(dá)式 ()是 ()的通解，它包括了方程 ()的所有解， 例 15 已知 sintx t? 是方程 2 0x x xt?? ?? ? ? 的解，試求方程的通解 . 解 這里 ?? 2ptt? ,由 ()得到 21 22s in 1s inttx c c d tt t t??? ? ?????? ? ? ? ?11s in 1c o s s in c o s .t c c t c t c ttt? ? ? ? ? ? ? 其中 1,cc是任意常數(shù)，這就是方程的通解， 變系數(shù)線性微分方程 歐拉方程是一類(lèi)可化為常系數(shù)線性微分方程的變系數(shù)線性微分方程，下面介紹其求解的方法。 14 2 2 ,lby ay yxx?? ? ?可令 yu x? 。 ? ? ? ? 0,yf xy dx xg xy dy??可令 u xy? 。該方程又可寫(xiě)為 221 ,dt t xx dx x? ? ? 即 2,dt xdx x??????? 所以 31 ,3t Cxx ?? 即 41 .3t Cx x?? 是原方程的通積分 . 黎卡提（ Riccati）方程 形如 ? ? ? ? ? ?2dy P x y Q x y R xdx ? ? ? 的方程叫做 黎卡 提（ Riccati） 方程 （ ,16761754）， 其中 ? ? ? ? ? ?,P x Q x R x為區(qū)間 I 上的連續(xù)函數(shù)， 且 ??Px不恒等于 0，其右端函數(shù)是一個(gè)關(guān)于 y 二次多項(xiàng)式 .一般來(lái)說(shuō)， 9 它不能用初等積分法來(lái)解出 . 若假設(shè)它的一個(gè)特解是 ??1 ,yx作變換 ? ?1 ,y z y x?? 則方程可化為以 z 為未知函數(shù)的伯努利方程 ? ? ? ? ? ? ? ? 212,dz P x y x Q x z P x zdx ? ? ?????這是一個(gè) 2n? 的伯努利方程，故可用初等積分法來(lái)求解。238。 例 2 求解方程625 2 22 .2dy y xdx xy x y?? ? 解 令 , 3,zy? 則 22 z xdx xz x?? ? 是齊次方程 .令 ,zu x? ，那么 2 uuxdx u??? ? 所以 2 621du u ux dx u??? ? 如果 2 6 0,uu? ? ? 則 ? ?2216u du dxu u x? ??? 積分得 73l n 3 l n 2 l n ,55u u x C? ? ? ? ? 即 ? ? ? ?77 553 3 , .Cu u C x C e? ? ? ? ? 4 將3yu x?代入，得通解 ? ? ? ?733 3 1 53 2 ,y x y x C x? ? ? 其中 C為任意常數(shù) .由 2 6uu??所得解包含在通解中 . 例 3 解方程 2 3 7 .3 2 8dy x ydx x y??? 解 解方程組：2 3 7 03 2 8 0xyxy? ? ??? ? ? ?? 解得21xy??? ?? 令： 21XxYy???? ???得21xXyY???? ??? 則原方程變?yōu)椋?2332dY X YdX X Y?? ? 積分可得： ? ? ? ?5Y X c Y X? ? ? 代回原變量得原方程的通解： ? ? ? ?513y x C y x? ? ? ? ?，其中 C為任意常數(shù) . 分式線性方程 形如 ,dy ax by cfdx m x ny l????? ??????叫做分式線性方程 . 如果 0,cl?? 則方程為 dy ax byfdx mx ny???? ????? 它是齊次方程，只要令 ,yu x? 即可把它化為變量分離方程來(lái)求解 . 如果 220,cl??即 c和 l 不全為 0，此時(shí)可分為如下兩種情形來(lái)討論： bn?? ? ? 5 先求線性代數(shù)方程組ax + by + c = 0,mx + ny + l = 0236。 例 1 求解方程yxdy yedx x?? 3 解 該方程是齊次方程。當(dāng) 0x? 時(shí)，齊次方程也可以表示為dy ygdx x??? ????的形式。非齊次方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次方程問(wèn)題 ,一階線性方程組轉(zhuǎn)化為一階線性方程問(wèn)題 ,高階方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低階方程問(wèn)題。所謂化歸思想 ,是指在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) ,通常是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)一系列的變換轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)一系列的變換轉(zhuǎn)化為相對(duì)容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)一系列的變換轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題。 步驟包括： （ 1）分離變量； 2 （ 2）對(duì)方程兩邊同時(shí)積分并整理成通解； （ 3）借助初始條件來(lái)求方程的特解。 1．變量代換法的相關(guān)概念 變量代換法的定義 變量代換法，也叫變量變換法或者換元法，是通過(guò)用新的變量去替換原方程的變量，將原方程化成更加簡(jiǎn)單更容易求解的形式，從而達(dá)到求解目的的一種方法。 在許多教材中有關(guān)常微分方程的解法都有一定的歸納 、 概括和總結(jié)。如何尋找恰當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q把給定的方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程 ,沒(méi)有一般的方法，但對(duì)于一些特殊類(lèi)型的方程，這種變 量代換卻有著固定的形式。它一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，恰當(dāng)運(yùn)用變量代換法可以起到化繁為簡(jiǎn) 、 化難為易的效果。