畢業(yè)論文(常微分方程積分因子法的求解)(參考版)
2025-05-16 13:19本頁面
【正文】 千言萬語化作一句感恩的話：辛苦了！ 。 特別謝謝我的一群同學和朋友 們 ，一起生活和工作學習的美好時間里，你們給予我的真摯的鼓勵和無私的幫助是畢生難忘的。 謝謝老師對畢業(yè)設(shè)計的完成與說明書的撰寫工作給予的關(guān)懷和指導。 滿足條件 ()P Q PQ f xy x y??? ? ?的積分因子求法 定理 1 假設(shè) ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy??中 ( ,Pxy ， ( , )Qxy 存在以下關(guān)系： ()P Q PQ f xy x y??? ? ? 其中 ()fx是 x 的連續(xù)函數(shù)，則該方程的積分因子是： 1()( , ) f x dx dyyx y e? ???? ()f x dxey???． 證明 ：1()() f x dx dyyf x ex??????????? ?? ( ) ( , )f x x y?? 1()1 f x dx dyyeyy??????????? ?? 1 ( , )xyy?? ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y P x y dx x y Q x y dy?? ?? 即： PPPy y y???? ? ???? ? ?PPyy?????? Qx x x???? ? ???? ? ? () f x x?????? 若要使得 ( , )xy? 是積分因子，必須滿足： QPxy????? 則 ()P P f xy y x? ? ? ???? ? ? 即 ()P Q PQ f xy x y??? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 五邑大學本科畢業(yè) 論文 8 即要滿足： ()Q P P Q f xx y y??? ? ?． 若滿足以上定理可得到如下定理： 定理 2 如果 ()( , ) f x dxx y e y? ???是方程 ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy??的積分因子，則( ) 2 ( )2 2 2( , ) ( )f x d x f x d xx y e y e y? ??? ? ? ?也是該方程的積分因子 證明 ： ∵ 22 0Pdx Qd y???? ∴ 2 2() 2PPPy y y????? ? ???? ? ? 222 PPyy?????? 2 2() 2Qx x x????? ? ???? ? ? 222 ( ) f x x? ? ? ??? ? 22( ) ( )PQyx???????? 22( 2 ) ( 2 )PQPQy y x x??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 22 ( ) ( )PQPQy x y x????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 22 ( ( ) ) ( )P P f xy y x? ? ? ? ??? ? ? ? 222 ( ( ) ) ( )P P f xy y x?? ??? ? ? ? 因為 ()fx， 1y 分別是 x ， y 的連續(xù)函數(shù)，則由連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)知 2 ( )fx ， 2y 也分別是x ， y 的連續(xù)函數(shù)． 又因為 22 ( )P Q PQ f xy x y??? ? ? 22( ) ( )PQyx???????? 222 ( ( ) ) ( )P P f xy y x?? ??? ? ? 五邑大學本科畢業(yè) 論文 9 222 ( ( ) ) 2 ( ( ) )PPQ f x Q f xyy??? ? ? ? =0 所以 22 0Pdx Qd y????是全微分方程． 所以 2? 也是該方程的積分因子． 例 3 求 3 si n 0yyx dx e xdy??的積分因子． 解 ： 3 c o syPQ x e xyx??? ? ? ( ) cotf x x?? 可以由上面的定理得到方程的積分因子： cot xdxey? ????． 例 4 求 23sin 0yy xdx x ye dy??的積分因子． 解 ： 22s in 3 yMN x x yeyx??? ? ? 可以取 2333()yyx yefx x ye x???? 從而使該方程能夠滿足定理 1 所需條件 則有： 31 3331d x d xxx ye y e y yxx?? ???? ? ? ? ? ? ? 所以方程的積分因子是： 3yx?? ． 同理，由定理 2知：26yx?? 也是該方程的積分因子． 方程 1 1 2 3 4 2 2( 3 ) 3 6 3 3 0m m mm x m x y x y d x y x y x y d y??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?積分 因子 定理 3 齊次方程為： 1 1 2 3 4 2 2( 3 ) 3 6 3 3 0m m mm x m x y x y d x y x y x y d y??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 五邑大學本科畢業(yè) 論文 10 則該方程有積分因子： 1222()xy? ?? ． 證明： 令 1222()z x y?? 則知 1222()z x x yx ?? ??? 1222()z y x yy ?? ??? ∵ ( , ) ( , ) 0x y P dx x y Q dy???? 1 1 2 3( 3 ) 3mmP m x m x y x y??? ? ? ? 4 2 26 3 3 mQ y x y x y? ? ? ∴ P d z PPy dz y y?? ?? ? ???? ? ? 122 2() dPP y x yd z y? ?? ?? ? ? ? Q d z x dz x x?? ?? ? ???? ? ?
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