畢業(yè)論文(常微分方程積分因子法的求解)-全文預(yù)覽
【正文】 1222()xy? ?? 方程 13 ( ) 3 0m m mx m x y x d x x d y???? ? ? ???積分因子 定理 4 齊次方程： 13 ( ) 3 0m m mx m x y x d x x d y???? ? ? ??? 則該方程有積分因子： 2()xy??? ． 證明： 令 2()z x y?? 則知 22xyx?? ??? 22xyy?? ??? 因?yàn)? ( , ) ( , ) 0x y P dx x y Q dy???? 所以有 P d z PPy dz y y?? ?? ? ???? ? ? ( 2 2 ) dPP x y dz y? ? ?? ? ? ? Q d z x dz x x?? ?? ? ???? ? ? ( 2 2 ) d x y dz x? ? ?? ? ? ? 五邑大學(xué)本科畢業(yè) 論文 12 若有 PQyx????? 則有： ( ) ( 2 2 ) ( )d Q PP Q x y d z x y? ? ??? ? ? ? ?1( ) ( 2 2 )QPd xydz P Q x y????????? ? ? ?ln( ) ( 2 2 )QPd xydz P Q x y???????? ? ? 21()xy? ? 所以 ( , )xy? 22211 ()( ) ( )dz d x yx y x yee ??????? 2ln( )xye ?? 2xy?? ． 例 6 求解齊次方程 4 3 43 sin 4 ( sin ) sin ( sin ) 3 sin 0yyx x e x d x x d e??? ? ? ??? 的積分因子． 解： 方程滿(mǎn)足定理 3方程的形式，因此，方程的積分因子為： 2(sin )yxe? ??． 方程 1( 4 ) 4 4 5 0m m mm x m x y y d x x x y d y?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?積分因子 定理 5 若齊次方程的形式為： 1( 4 ) 4 4 5 0m m mm x m x y y d x x x y d y?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 則方程的積分因子是： 3()xy??? ． 證明： 令 3()z x y?? 則知 23( )z xyx? ??? 23( )z xyy? ??? 因?yàn)? ( , ) ( , ) 0x y P dx x y Q dy???? 五邑大學(xué)本科畢業(yè) 論文 13 1( 4 ) 4mmP m x mx y y?? ? ? ? 45mQ x x y? ? ? 所以有 P d z PPy dz y y?? ?? ? ???? ? ? 23 ( ) dPP x y dz y? ? ?? ? ? ? Q d z x dz x x?? ?? ? ???? ? ? 23 ( ) d x y dz x? ? ?? ? ? ? 若有 PQyx????? 即有： 23 ( ) ( ) ( )d Q PP Q x y d z x y? ? ??? ? ? ? ? 21( ) 3 ( )QPd xydz P Q x y????????? ? ? ? 2ln( ) 3 ( )QPd xydz P Q x y???????? ? ? 31()xy? ? 所以 31()( , ) dzxyx y e? ??? 331 ()()d x yxye ???? 3ln( )xye ?? 3()xy?? 所以 方程的積分因子是： 3()xy??? ． 五邑大學(xué)本科畢業(yè) 論文 14 例 7 求齊次方程 3 2 3( 7 sin 3 sin 4 ) ( sin 4 sin 5 ) 0x x y y dx x x y dy? ? ? ? ? ?的積分因子． 解： 方程滿(mǎn)足定理 5條件，則知方程的積分因子是： 3()xy??? ． 本 章 對(duì)積分因子的求解方法進(jìn)行了推廣，總結(jié)出幾類(lèi)特定方程積分因子的固定求法，以便加深對(duì)微分方程積分因子 的認(rèn)識(shí)和了解，熟悉一階微分方程求解方法。 命題 2 齊次方程 )(xydxdy φ? 有積分因子 )(1xyxy φ?。 五邑大學(xué)本科畢業(yè) 論文 5 結(jié)論 9 方程 0),(),( ?? dyyxNdxyxM 有形如 )( bbaa nyyhxmxu ?? 的積分因子的充要條件是 )()(*)(m a x 1 1111 bbaababa nyyhxmxdxdNdydMbx May NyhxMn byN ??????? ???? φ，且 積分因子 ? ????? ))()(e x p ( bbaabbaa nyyhxmxdnyyhxmxu 。 證明類(lèi)似結(jié)論 3 的證明。 證明 vxy? ， 則 dvduxdydvdvdudydudvduydxdvdvdudxdu **** ???? ， 假設(shè) ),( yxu 為方程0),(),( ?? dyyxNdxyxM 的積分因子 ， 則有充要條件 dxuNddyuMd )()( ? ， 所以dvduMxNydvduMxdvduNydyduMdxduNdxdNdydMu *)(*)( ??????? ， 所以 ，dvdxdNdydMMxNyudu *)(*1 ??? ， 當(dāng)且僅當(dāng) )()(*1 vfdxdNdydMMxNy ??? 時(shí) ,可以解出 u ,故方程 0),(),( ?? dyyxNdxyxM 有 形如 )(xyu 的積分因子的充要條件是)()(*1 xyfdxdNdydMMxNy ??? ,且積分因子 ?? )()(exp ( xydxyu 。 證明 令 uyx ?? ，則 dydudxdududu ?? ， 假設(shè) )( yxu ? 為方程 0),(),( ?? dyyxNdxyxM 的積分因子，則由引理 有充要條件
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