【正文】 離方程的充要條件是 ? ?440 , 2 , , 1 , 2 , ,2 1 2 1kkmkkk??? ? ? ????? 例 8 求 解微分方程 222 1 .x x xy e y ye e?? ? ? ? ? 解 將此方程變形為： 2 2 x x xy e y e y e e?? ? ? ? 這是一個(gè) Riccati 方程 .根據(jù)方程的特點(diǎn)可觀察出此方程有一個(gè)特解 令 ? ?1 ,y z y x?? ，則方程可變?yōu)? 2 e z??? 該方程的通解是 1 .xz eC? ? 從而，原方程的通解是 1 .xxyeeC??? 其中 C是任意常數(shù) . 一階隱式方程 前幾節(jié)給出的一階方程的幾種解法，都是基于 dydx 可以明顯解出而且可表示成? ?,dy f x ydx ? 的形式，但對(duì)于一般形式 ? ?, , 0F x y y? ? 中無法解出 dydx 或者解出 dydx 的表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜的情況下，則難以用上述那些方法求解，而宜采用引進(jìn)參數(shù)（變量代換）使之變?yōu)閷?dǎo)數(shù)已解出的類型再求解，這里介紹兩種類型，可以解出 y 或 x 的方程，即 ? ?,y f x y?? 和? ?,.x f y y?? 對(duì)于方程 ? ?,y f x y?? () 10 其中 f u,v( ) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) . 引進(jìn)參數(shù) yp?? ,則式 ()改為 ? ?,y f x p? ，兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù)，并將 yp?? 代入，得到 .p f dppx p dx??? ? ? 這是一個(gè)關(guān)于 p 的一階微分方程，且它的導(dǎo)數(shù)已解出 .于是可利用上面的方法求解 .假設(shè)其通解為 ? ?, , 0x p c? ? ，則原方程的通解為 ? ?? ?, , 0,x p cy f x p? ??????? 其中， p 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 例 9 求解方程 2 24 2 2 0 .d y d yx x yd x d x?? ? ? ? ????? 解 從方程中可以看出解出 dydx 是有一定困難的，但易解出 ? ?2 242 .2y xy xy ????? 令 yp?? , 上方程寫為 2242 ,2p px xy ??? 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù)，整理得 2 2 2 ,d p d pp p p x xd x d x? ? ? ? 即 ? ?2 1 0 .dppx dx??? ? ????? 由此可得 p x c?? ? 和 2 0,px??其中 c 為任意常數(shù)，將上述兩式分別與 2242 ,2p px xy ??? 聯(lián)立，得原方程的通解 22,42 ,2p x cp px xy? ? ???? ????? 和特解 11 222 0 ,42 ,2pxp px xy????? ????? 其中 ,p 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . 類似地，對(duì)于方程 ? ?,x f y y?? 同樣令 ,yp?? 于是兩邊對(duì) y 求導(dǎo)數(shù)，并以 yp?? 代入，得到 1 .f f dpp y p dy???? 這是關(guān)于 p的一階微分方程，并且它的導(dǎo)數(shù)已經(jīng)解出，于是可以用前面的方法求解，設(shè)其通解為 ? ?, , 0,x p c? ? 即得原方程的參致形式通解為 ? ?? ?, , 0,y p cx f y p? ??????? 其中 ,p 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . 例 10 求方程 0dydxdy exdx ? ? ? 的解 . 解 從方程中可看到解出 dydx 是相當(dāng)困難的，但易解出 dydxdyxedx??,引入?yún)?shù) dy pdx? ,則所求方程可改寫成 px p e?? ,兩邊對(duì) y 求導(dǎo)，并代入 1dxdy p?,得到 1 ,pdp dpep dy dy?? 即 ? ? .pdy p pe dp?? 由此可得 2 .2 pppy pe e c? ? ? ? 于是原方程的參數(shù)形式的通解為 2 ,2,ppppy pe e cx p e? ? ? ? ??????? 12 其中 ,p 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . (1) 不顯含 y 或 x 的方程，即 ? ?,0F x y? ? 和 ? ?,0F y y? ? . 對(duì)于方程 ? ?,0F x y? ? ，令 yp?? ，則從幾何觀點(diǎn)看 ? ?,0F x p ? 表示 xp? 平面上的一條曲線，若能夠把此曲線用適當(dāng)參數(shù)表示成 ? ? ? ?,x t y t???? 其中 ,t 為參數(shù) .基于基本公式 dy pdx? ，則有 ? ? ? ? ,dy t t dt???? 即 ? ? ? ? .y t t dt c?????? 于是原方程的參數(shù)形式的通解為 ? ?? ? ? ?,xty t t dt c???????????? ? 其中 ,t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 注意：此方法的關(guān)鍵在于把曲線寫成適當(dāng)?shù)膮?shù)形式，易于積分 . 例 11 求方程 0dydxdy exdx ? ? ? 的解 . 解 此方程即為上面例題 10 中的方程，但它為（ 2）類型方程，它不顯含未知函數(shù) y ,令 yp?? ，則方程寫成 0pp e x? ? ? ，于是方程可以寫成參數(shù)形式 , px t ept? ??? ?? 則 ? ?1 tdy pdx t e dt? ? ?，計(jì)算 ? ? 21 2t t tty t e dt te e c? ? ? ? ? ?? ，因此原方程的參數(shù)形式的通解為 2,2pttx t ety te e c? ???? ? ? ? ??? 其中 , t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 類似地，對(duì)于不顯含自變量 x 的方程，采用同樣的處理方法，即對(duì)方程 ? ?, 0,F y y? ? 令,yp?? 則方程改寫成 ? ?, 0,F y p ? 此方程可以用適當(dāng)?shù)膮?shù)形式表示： ? ? ? ?,y t p t???? 基于基本公式 1 ,dx dyp?則原方程的通解參數(shù)形式為 13 ? ?? ?? ?,tx dt ctyt????? ???????? 其中 , t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 注意： 方程 ? ?, 0,F y y? ? 中只是不顯含自變量 x ，而不是不含 x ，因此還要關(guān)注方程? ?,0 0,Fy ? 是否有解 .若存在 yk? ，滿足 ? ?,0 0Fk ? ，則不難驗(yàn)證 yk? 也是方程的解 . 例 12 求方程 ? ? ? ?22 12y y y??? ? ?的解 . 解 方程中不顯含自變量 x ，令 , 2 ,y p p yt?? ? ?代入方程得 21,1,yttpt? ????? ??? 這是原方程的參數(shù)形式，由基本公式得 21 .dydx dtpt? ? ? 對(duì)其積分，得到 1 .xct?? 故原方程通解的為 1 ,1 ,xctytt? ?????? ???? 其中 ,t 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . 另外，方程 ? ?,0 0,Fy ? 即 2 4,y? 有解 2,y?? 可知其也為原方程的解 . 一些特殊形式的方程 一些特殊形式的方程也可以用變量代換法來求解，比如 ? ?= + ,dy f ax by cdx ?可令 u ax by c? ? ? 。 2 ,dy yxdx x???? ????可令 2yu x? 。 265 2 3 ,2dy x ydx xy x y?? ? 可令3uy? 。 形如 11111 0nnnnnnd y d y dyx a x a x adx dx dx????? ? ??? ? ? ? () 稱為歐拉方程 . 其中 12, , , na a a??? 為常數(shù) . 令 ? ?, l n 0 ,tx e t x x? ? ? 則 ,td y d y d t d yed x d t d x d t?? ? ? 22 2t t td y d d y d y d ye e ed x d t d t d t d t? ? ? ????? ? ??????? ?? 用歸納法可以證明 1111 ,k k kktkk k kd y d y d y d yed x d t d t d t????????? ? ? ??? ????? 17 其中 1 2 1, , , k? ? ? ???? 都是常數(shù) . 將其代入方程 ()，就得常系數(shù)齊次線性方程 1111 0,nnnnd y d y dyb b b ydt dt dt???? ? ??? ? ? ? () 其中 12, , , nb b b??? 是常數(shù)，通過求解 ()，再代回原變量，就能得到方程 ()的通解 .對(duì) 0,x? 令 ,txe?? 結(jié)果一樣 . 由上面知， ()有形如 tye?? 的解，從而 ()有形如 yx?? 的解 .因此，可直接求歐拉方程的形如 yx?? 的解，將 yx?? 代入 ()并約去因子 x? ，便得到關(guān)于 ? 的代數(shù)方程 ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 1 2 0 .nn a n a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可證這正是 ()的特征方程 .事實(shí)上，用歸納法可以證明：對(duì) ,txe?? 有關(guān)系式 1 1 .kk kd y d d dx k yd x d t d t d t? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 例 16 求解方程 222 3 0 .d y dyx x ydx dx? ? ? 解 令 ,txe? 得 22 2 0 .d y dy ydt dt? ? ? () 特征方程是 2 2 1 0.??? ? ? 特征根是 121.??? ?? 從而，方程 ()的通解是 ? ? e C C t??? 如果也考慮變換 ,txe?? 則原方程的通解是 ? ?121 ln ,y C C xx?? 其中 12,CC是任意常數(shù) . 例 17 求解方程 ? ? ? ?24 1 2 4 1 8 0 .x y x y y?? ?? ? ? ? ? 解 該方程是歐拉方程 .令 4 1 ,txe?? 則 18 4 ,41d y d y d t d yy d x d t d x x d t? ? ? ? ? ?? ? ? 22 24 1 641 41d d y d y d yy d x x d t d t d tx ?????? ? ? ? ???????? ? ?? 代入方程得 222 3 0 .d y dy ydt dt? ? ?