【正文】 ations in dependent variable substitution method to plete. Variable transformation method is also based on a method of transforming thought. In this paper, by analyzing the method of variable substitution in ordinary differential equation in the application of, and classified in this paper summarizes the variable substitution in several kinds of ordinary differential equation solving and several kinds of special method of variable substitution, to reflect the variable substitution method superiority in solving differential equations. KEY WORDS ordinary differential equation。若未知函數(shù)的自變量只有一個(gè)，那么我們就稱它為常微分方程。一些大科學(xué)家，比如伯努利家族、高斯、歐拉、拉普拉斯和拉格朗日等，都參與了早期的微分方程求解工作，發(fā)明了許多解法，這些方法現(xiàn)被稱為初等積分法。 變量代換法往往跟分離變量法結(jié)合使用，在一階微分方程中變量分離方程是一個(gè)最基本的類型 , 可以先進(jìn)行分離變量再通過(guò)初等積分法來(lái)求它的通解。如何尋找恰當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q把給定的方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程 ,沒(méi)有一般的方法，但對(duì)于一些特殊類型的方程，這種變 量代換卻有著固定的形式。 1．變量代換法的相關(guān)概念 變量代換法的定義 變量代換法，也叫變量變換法或者換元法，是通過(guò)用新的變量去替換原方程的變量，將原方程化成更加簡(jiǎn)單更容易求解的形式，從而達(dá)到求解目的的一種方法。所謂化歸思想 ,是指在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) ,通常是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)一系列的變換轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)一系列的變換轉(zhuǎn)化為相對(duì)容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)一系列的變換轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題。當(dāng) 0x? 時(shí)，齊次方程也可以表示為dy ygdx x??? ????的形式。 例 2 求解方程625 2 22 .2dy y xdx xy x y?? ? 解 令 , 3,zy? 則 22 z xdx xz x?? ? 是齊次方程 .令 ,zu x? ，那么 2 uuxdx u??? ? 所以 2 621du u ux dx u??? ? 如果 2 6 0,uu? ? ? 則 ? ?2216u du dxu u x? ??? 積分得 73l n 3 l n 2 l n ,55u u x C? ? ? ? ? 即 ? ? ? ?77 553 3 , .Cu u C x C e? ? ? ? ? 4 將3yu x?代入，得通解 ? ? ? ?733 3 1 53 2 ,y x y x C x? ? ? 其中 C為任意常數(shù) .由 2 6uu??所得解包含在通解中 . 例 3 解方程 2 3 7 .3 2 8dy x ydx x y??? 解 解方程組：2 3 7 03 2 8 0xyxy? ? ??? ? ? ?? 解得21xy??? ?? 令： 21XxYy???? ???得21xXyY???? ??? 則原方程變?yōu)椋?2332dY X YdX X Y?? ? 積分可得： ? ? ? ?5Y X c Y X? ? ? 代回原變量得原方程的通解： ? ? ? ?513y x C y x? ? ? ? ?，其中 C為任意常數(shù) . 分式線性方程 形如 ,dy ax by cfdx m x ny l????? ??????叫做分式線性方程 . 如果 0,cl?? 則方程為 dy ax byfdx mx ny???? ????? 它是齊次方程，只要令 ,yu x? 即可把它化為變量分離方程來(lái)求解 . 如果 220,cl??即 c和 l 不全為 0，此時(shí)可分為如下兩種情形來(lái)討論： bn?? ? ? 5 先求線性代數(shù)方程組ax + by + c = 0,mx + ny + l = 0236。該方程又可寫(xiě)為 221 ,dt t xx dx x? ? ? 即 2,dt xdx x??????? 所以 31 ,3t Cxx ?? 即 41 .3t Cx x?? 是原方程的通積分 . 黎卡提（ Riccati）方程 形如 ? ? ? ? ? ?2dy P x y Q x y R xdx ? ? ? 的方程叫做 黎卡 提（ Riccati） 方程 （ ,16761754）， 其中 ? ? ? ? ? ?,P x Q x R x為區(qū)間 I 上的連續(xù)函數(shù)， 且 ??Px不恒等于 0，其右端函數(shù)是一個(gè)關(guān)于 y 二次多項(xiàng)式 .一般來(lái)說(shuō)， 9 它不能用初等積分法來(lái)解出 . 若假設(shè)它的一個(gè)特解是 ??1 ,yx作變換 ? ?1 ,y z y x?? 則方程可化為以 z 為未知函數(shù)的伯努利方程 ? ? ? ? ? ? ? ? 212,dz P x y x Q x z P x zdx ? ? ?????這是一個(gè) 2n? 的伯努利方程，故可用初等積分法來(lái)求解。 14 2 2 ,lby ay yxx?? ? ?可令 yu x? 。z 的項(xiàng)，即要 ? ? ? ? ? ?2 0 ,u x p x u x? ?? 只需取 ? ? ? ?12 .p x dxu x e? ?? 19 于是，作變換 ? ?12 ,p x dxy ze? ?? () 方程 ()就變成 ? ? 0,z I x z???? () 其中 ? ? ? ? ? ? ? ?211 .42I x q x p x p x?? ? ? 稱為不變式 . 當(dāng) ??Ix是以下三種情形時(shí) : (1) ? ?2cIxx?(c 為常數(shù) ),(2) ? ? ? ?? ? ,xIxx??????(3) ? ?Ix? 常數(shù)，可求得方程 ()的有限形式通解，從而也就求出了原方程 ()的有限形式通解，這是因?yàn)? 在情形 (1) ? ?2 ,cIx x?方程 ()是歐拉方程，可求出 ()的有限形式通解； 在情形 (2) ? ? ? ?? ? ? ?,xI x z xx? ????? ? ?是方程 ()的一個(gè)特解，進(jìn)一步可得方程 ()的通解； 在情形 (3) ? ?Ix? 常數(shù) ,方程 ()是常系數(shù)線性微分方程，可求出 ()的有限形式通解 . 例 18 討論 Bessel 方程 ? ?2 2 2 0,x y xy x n y?? ?? ? ? ? () 其中常數(shù) n179。 25 5. 總結(jié) 本文主要從變量代換法的概念，變量代換法在常微分方程的幾種類型中的應(yīng)用包括低階微分方程。同時(shí)，在一些類型的常微分方程的一題多解中采用變量代換法往往比較容易。 高階微分方程 高階微分方程的降價(jià) 高階微分方程一般沒(méi)有普遍的解法，通常通過(guò)降階法來(lái)處理問(wèn)題，把高階微分方程通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為較低階的方程來(lái)求解，下面討論三類可降階的方程的類型： 類型 1： ? ? ? ? ? ?? ?1, , , 0 , 1 .k k nF t x x x k n? ?????? ? ? ? 特點(diǎn) :方程不顯含未知數(shù) x 及 ? ?, , .nkx x x ?? ????? 令 ? ? ,kxy? 則方程可降為 nk? 階的方程 ? ?, , , 0 ,nkF t x x x ?? ?????? ?若可求得該方程的通解為 ? ?12, , , ,nky t c c c? ?? ??????則由 ? ? ? ?12, , , ,k nkx y t c c c? ?? ? ?????? 逐次積分 k 次，可得原方程的通解 . 例 13 求解方程 ? ?21 x xt?? ? ?? ? ? 解 原方程是不顯含未知數(shù) x 的二階方程，所以令 ,xy?? 有 ,xy??? 則方程化為21 0,y y yt?? ? ? 即 21 ,y y yt???這是伯努利方程，解之得 212 ,ty Ct? ? 即212 ,tx Ct?? ? 積分得方程的通解為 ? ? 212ln ,x t C t C? ? ? 其中 12,CC為任意常數(shù) . 類型 2 : ? ?? ?, , 0 .nF x x x? ?????? ? 特點(diǎn) :方程不顯含自變量 t . 令 ,xy?? 則方程經(jīng)過(guò)變換后，可得 11, , , 0nndy d yG x y dx dx??????? ????? 15 比原方程降低了一階 ,若可解得它的通解為 ? ?1 2 1, , , ,ny t c c c? ?? ?????? 則由 ? ?1 2 1, , , ,ndxy x t c c cdt ? ??? ? ? ??????分離變量，可得原方程的通解 . 例 14 求解方程 ? ?2 x???? 解 令 xy?? ，可得 dyxydx?? ，則原方程化為： 2 0dyxy ydx??得 0y? 或 0dyxydx??，積分得 cy x? ，即 cx x?? ，所以 ? ?2 1 2 1 2x c t c c c? ? ?這就是原方程的通解 . 類型 3: ? ? ? ? ? ?1111 0nnnnd y d x dxa t a t a t xdt dt dt???? ? ??? ? ? ? () 特點(diǎn)：變系數(shù)線性齊次方程 . 如果已知方程 ()的 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則 ()可降低 k 階，即可得到 nk? 階的齊次線性方程 .特別地，如果已知 ()的 1n? 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則 ()的基本解組可以求得 . 方程 ()的求解問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為尋求它的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，這一過(guò)程雖然沒(méi)有一般可遵循的方法 (這跟常系數(shù)線性方程有很大的差異 )，但如果知道方程的一個(gè)非零特解，則可通過(guò)線性變換，把方程降低一階；一般情況下，若已知方程 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則可通過(guò)一系列同類型的交換將方程降低 k 階，并且新得到的 nk? 階方程也是線性齊次的 . 特別地，對(duì)二階線性齊次方程來(lái)說(shuō)，如果已知它的一個(gè)非零解，就可求出方程的通解 . 事實(shí)上，設(shè) 1 0xx?? 是二階齊次線性微分方程 ? ? ? ?22 0d x dxp t q t xdt dt? ? ? () 的解，通過(guò)變量代換 1x x ydt? ? 后，方程就化成 ? ?1 1 12 0 ,dyx x p t x ydt ???? ? ??? 這是一階線性微分方程 .解得 ??211 ,p t dty c ex ??? 因此 ? ?11 211 ,p t d tx x c c e d tx ??????????? () 這里 1,cc是任意常數(shù) . 16 取 10, 1cc??，我們得到了方程 ()的一個(gè)特解 ? ?1 211 ,p t d