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正文內(nèi)容

常微分方程中的變量代換法畢業(yè)論文-全文預(yù)覽

  

【正文】 tx x e dtx ??? ? 它與 1x 顯而易見(jiàn)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的,因?yàn)樗鼈冎炔⒉皇堑扔诔?shù) .因此,表達(dá)式 ()是 ()的通解,它包括了方程 ()的所有解, 例 15 已知 sintx t? 是方程 2 0x x xt?? ?? ? ? 的解,試求方程的通解 . 解 這里 ?? 2ptt? ,由 ()得到 21 22s in 1s inttx c c d tt t t??? ? ?????? ? ? ? ?11s in 1c o s s in c o s .t c c t c t c ttt? ? ? ? ? ? ? 其中 1,cc是任意常數(shù),這就是方程的通解, 變系數(shù)線(xiàn)性微分方程 歐拉方程是一類(lèi)可化為常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的變系數(shù)線(xiàn)性微分方程,下面介紹其求解的方法。 ? ? ? ? 0,yf xy dx xg xy dy??可令 u xy? 。238。 例 1 求解方程yxdy yedx x?? 3 解 該方程是齊次方程。非齊次方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次方程問(wèn)題 ,一階線(xiàn)性方程組轉(zhuǎn)化為一階線(xiàn)性方程問(wèn)題 ,高階方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低階方程問(wèn)題。 步驟包括: ( 1)分離變量; 2 ( 2)對(duì)方程兩邊同時(shí)積分并整理成通解; ( 3)借助初始條件來(lái)求方程的特解。 在許多教材中有關(guān)常微分方程的解法都有一定的歸納 、 概括和總結(jié)。它一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,恰當(dāng)運(yùn)用變量代換法可以起到化繁為簡(jiǎn) 、 化難為易的效果。利用初等積分法可將常微分方程中的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的積分問(wèn)題 , 它是一階微分方程所有解法中的最基本解法。 微分方程的一個(gè)主要問(wèn)題是“求解”,但是一般微分方程無(wú)法求解,只能通過(guò)對(duì)某些類(lèi)型用相應(yīng)的方法求解。 solution。變量變換法也是基于化歸思想的一種方法。 :任務(wù)書(shū)、開(kāi)題報(bào)告、外文譯文、譯文原文(復(fù)印件)。 作者簽名: 日期: 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定,同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版,允許論文被查閱和借閱。 作者簽名: 日 期: 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明:所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。 畢 業(yè) 論 文 常微分方程中的 變 量代 換 法 畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾:所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文),是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。 作 者 簽 名: 日 期: 指導(dǎo)教師簽名: 日 期: 使用授權(quán)說(shuō)明 本人完全了解 大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)的規(guī)定,即:按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)的印刷本和電子版本;學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)的印刷本和電子版,并提供目錄檢索與閱覽服務(wù);學(xué)校可以采用影印、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文;在不以贏利為目的前提下,學(xué)??梢怨颊撐牡牟糠只蛉?jī)?nèi)容。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 作者簽名: 日期: 年 月 日 導(dǎo)師簽名: 日期: 年 月 日 注 意 事 項(xiàng) (論文)的內(nèi)容包括: 1)封面(按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作) 2)原創(chuàng)性聲明 3)中文摘要( 300字左右)、關(guān)鍵詞 4)外文摘要、關(guān)鍵詞 5)目次頁(yè)(附件不統(tǒng)一編入) 6)論文主體部分:引言(或緒論)、正文、結(jié)論 7)參考文獻(xiàn) 8)致謝 9)附錄(對(duì)論文支持必要時(shí)) :理工類(lèi)設(shè)計(jì)(論文)正文字?jǐn)?shù)不少于 1萬(wàn)字(不包括圖紙、程序清單等),文科類(lèi)論文正文字?jǐn)?shù)不少于 萬(wàn)字。 變量代換法在求解常微分方程中有著十分廣泛的應(yīng)用, 許多類(lèi)型的方程求解依賴(lài)變量代換法方法來(lái)完成。 variable substitution method。常微分方程在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)中具有一定的地位,同時(shí)它在經(jīng)濟(jì)、建筑、物理、工業(yè)等領(lǐng)域中都有著十分廣泛的應(yīng)用。初等積分法,就是將微分方程的解通過(guò)初等函數(shù)或者它們的積分表示出來(lái)的方法。用初等積分法求解常微分方程的一般是進(jìn)行一定的變量變換 ,把所給的方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程。此外,變量代換法在高階微分方程求解中也有著廣泛的應(yīng)用。 在一階微分方程中變 量分離方程也是一種最基本的方程類(lèi)型,通過(guò)變量代換變形等方法可將不同類(lèi)型的一階微分方程最終化為變量分離方程進(jìn)而求解。從常微分方程發(fā)展 的歷程可以看出 ,化歸是常微分方程的重要數(shù)學(xué)思想方法 ,常數(shù)變易法、變量代換法、逐步逼近法、算子法、級(jí)數(shù)解法等 ,它們都是用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)把問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn)的化歸方法。 為求解齊次方程,我們引進(jìn)新的未知函數(shù) yu x? ,利用等式 ,dy duxudx dx??? ? ? ?, 1,f x y f u? 可以把齊次方程化為等價(jià)的變量分離方程 ? ?1,dux f u udx ?? 由于變量分離方程總是能用初等積分法求解的,因此齊次方程也是能夠求解的。237。 定理: 設(shè) Riccati 方程 2 ,mdy ay bxdx ?? 其中 ,abm 都是常數(shù),且 0,a? 若 0, 0,xy??則能用某一初等變換將上述方程化成變量分離方程的充要條件是 ? ?440 , 2 , , 1 , 2 , ,2 1 2 1kkmkkk??? ? ? ????? 例 8 求 解微分方程 222 1 .x x xy e y ye e?? ? ? ? ? 解 將此方程變形為: 2 2 x x xy e y e y e e?? ? ? ? 這是一個(gè) Riccati 方程 .根據(jù)方程的特點(diǎn)可觀察出此方程有一個(gè)特解 令 ? ?1 ,y z y x?? ,則方程可變?yōu)? 2 e z??? 該方程的通解是 1 .xz eC? ? 從而,原方程的通解是 1 .xxyeeC??? 其中 C是任意常數(shù) . 一階隱式方程 前幾節(jié)給出的一階方程的幾種解法,都是基于 dydx 可以明顯解出而且可表示成? ?,dy f x ydx ? 的形式,但對(duì)于一般形式 ? ?, , 0F x y y? ? 中無(wú)法解出 dydx 或者解出 dydx 的表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜的情況下,則難以用上述那些方法求解,而宜采用引進(jìn)參數(shù)(變量代換)使之變?yōu)閷?dǎo)數(shù)已解出的類(lèi)型再求解,這里介紹兩種類(lèi)型,可以解出 y 或 x 的方程,即 ? ?,y f x y?? 和? ?,.x f y y?? 對(duì)于方程 ? ?,y f x y?? () 10 其中 f u,v( ) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) . 引進(jìn)參數(shù) yp?? ,則式 ()改為 ? ?,y f x p? ,兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù),并將 yp?? 代入,得到 .p f dppx p dx??? ? ? 這是一個(gè)關(guān)于 p 的一階微分方程,且它的導(dǎo)數(shù)已解出 .于是可利用上面的方法求解 .假設(shè)其通解為 ? ?, , 0x p c? ? ,則原方程的通解為 ? ?? ?, , 0,x p cy f x p? ??????? 其中, p 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 例 9 求解方程 2 24 2 2 0 .d y d yx x yd x d x?? ? ? ? ????? 解 從方程中可以看出解出 dydx 是有一定困難的,但易解出 ? ?2 242 .2y xy xy ????? 令 yp?? , 上方程寫(xiě)為 2242 ,2p px xy ??? 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù),整理得 2 2 2 ,d p d pp p p x xd x d x? ? ? ? 即 ? ?2 1 0 .dppx dx??? ? ????? 由此可得 p x c?? ? 和 2 0,px??其中 c 為任意常數(shù),將上述兩式分別與 2242 ,2p px xy ??? 聯(lián)立,得原方程的通解 22,42 ,2p x cp px xy? ? ???? ????? 和特解 11 222 0 ,42 ,2pxp px xy????? ????? 其中 ,p 為參數(shù), c 為任意常數(shù) . 類(lèi)似地,對(duì)于方程 ? ?,x f y y?? 同樣令 ,yp?? 于是兩邊對(duì) y 求導(dǎo)數(shù),并以 yp?? 代入,得到 1 .f f dpp y p dy???? 這是關(guān)于 p的一階微分方程,并且它的導(dǎo)數(shù)已經(jīng)解出,于是可以用前面的方法求解,設(shè)其通解為 ? ?, , 0,x p c? ? 即得原方程的參致形式通解為 ? ?? ?, , 0,y p cx f y p? ??????? 其中 ,p 為參數(shù), c 為任意常數(shù) . 例 10 求方程 0dydxdy exdx ? ? ? 的解 . 解 從方程中可看到解出 dydx 是相當(dāng)困難的,但易解出 dydxdyxedx??,引入?yún)?shù) dy pdx? ,則所求方程可改寫(xiě)成 px p e?? ,兩邊對(duì) y 求導(dǎo),并代入 1dxdy p?,得到 1 ,pdp dpep dy dy?? 即 ? ? .pdy p pe dp?? 由此可得 2 .2 pppy pe e c? ? ? ? 于是原方程的參數(shù)形式的通解為 2 ,2,ppppy pe e cx p e? ? ? ? ??????? 12 其中 ,p 為參數(shù), c 為任意常數(shù) . (1) 不顯含 y 或 x 的方程,即 ? ?,0F x y? ? 和 ? ?,0F y y? ? . 對(duì)于方程 ? ?,0F x y? ? ,令 yp?? ,則從幾何觀點(diǎn)看 ? ?,0F x p ? 表示 xp? 平面上的一條曲線(xiàn),若能夠把此曲線(xiàn)用適當(dāng)參數(shù)表示成 ? ? ? ?,x t y t???? 其中 ,t 為參數(shù) .基于基本公式 dy pdx? ,則有 ? ? ? ? ,dy t t dt???? 即 ? ? ? ? .y t t dt c?????? 于是原方程的參數(shù)形式的通解為 ? ?? ? ? ?,xty t t dt c???????????? ? 其中 ,t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 注意:此方法的關(guān)鍵在于把曲線(xiàn)寫(xiě)成適當(dāng)?shù)膮?shù)形式,易于積分 . 例 11 求方程 0dydxdy exdx ? ? ? 的解 . 解 此方程即為上面例題 10 中的方程,但它為( 2)類(lèi)型方程,它不顯含未知函數(shù) y ,令 yp?? ,則方程寫(xiě)成 0pp e x? ? ? ,于是方程可以寫(xiě)成參數(shù)形式 , px t ept? ??? ?? 則 ? ?1 tdy pdx t e dt? ? ?,計(jì)算 ? ? 21 2t t tty t e dt te e c? ? ? ? ? ?? ,因此原方程的參數(shù)形式的通解為 2,2pttx t ety te e c? ???? ? ? ? ??? 其中 , t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 類(lèi)似地,對(duì)于不顯含自變量 x 的方程,采用同樣的處理方法,即對(duì)方程 ? ?, 0,F y y? ? 令,yp?? 則方程改寫(xiě)成 ? ?, 0,F y p ? 此方程可以用適當(dāng)?shù)膮?shù)形式表示: ? ? ? ?,y t p t???? 基于基本公式 1 ,dx dyp?則原方程的通解參數(shù)形式為
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