某些非線性常微分方程的常數(shù)變易法畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-02 15:26本頁面
【正文】 nominator 目 錄第1章 緒論 1 引言 1 本文的主要研究內(nèi)容 4第2章 一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例 5 一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法 5 基本類型Ⅰ …………………………………………………………………5 基本類型Ⅱ …………………………………………………………………5 基本類型Ⅲ …………………………………………………………………6 基本類型Ⅳ …………………………………………………………………6 基本類型Ⅴ …………………………………………………………………6 基本類型ⅤI……………………………………………………………………………7 舉例 7 基本方法Ⅰ …………………………………………………………………7 基本方法Ⅱ …………………………………………………………………8 基本方法Ⅲ …………………………………………………………………8 基本方法IV ………………………………………………………………...9 基本方法V ………………………………………………………………....9 基本方法VI ……………………………………………………………….10 基本方法VII………………………………………………………………………… 10 基本方法VIII………………………………………………………………………....10第3章 二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例 12 二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法 12 二階非線性常微分方程組的一般形式與解法 12 具有幾個(gè)定理性質(zhì)的可用常數(shù)變易法的方程…..………………………13 舉例 13結(jié) 論 22致 謝 23參考文獻(xiàn) 24部分符號(hào)對照表 屬于 對任意的 存在() 大于（小于） 大于或等于（小于或等于） 蘊(yùn)涵或推出 等價(jià)或充分必要 集合的并（集合的交） 積分號(hào) 求和符號(hào) 維實(shí)數(shù)空間 求極限dy/dx y對x求導(dǎo)第1章 緒論 引言常數(shù)變易法是常微分方程中解決線性微分方程的主要手段，在教材中都沒有詳細(xì)的說明，在這里我給出常數(shù)變易法是如何一步一步推導(dǎo)出來的。所以我們的思路就是如何將（1）式的x和y分離開來。這時(shí)想想以前解決“齊次方程”時(shí)用過的招數(shù)：(1)式: (3)這時(shí)u又不能單獨(dú)除到左邊來，所以還是不行。因?yàn)檫@樣“變量分離不出”這個(gè)矛盾就自然而然的消失了——整個(gè)都消失了，那也就不需要分什么了。當(dāng)然這些假設(shè)都是不可能的，因?yàn)閤和M(x)等于幾是你無法干預(yù)的。但結(jié)果是很簡單的。其中u和v都是關(guān)于x的函數(shù)。有人可能會(huì)覺得把一個(gè)函數(shù)關(guān)系問題變成兩個(gè)函數(shù)關(guān)系問題，這簡直是把問題復(fù)雜化了，不然,其實(shí)u和v都非常有用，看到下面就知道了。怎么變？這是v的用處就有了。 (5)現(xiàn)在v解出來了，接下來該處理u了，實(shí)際上當(dāng)v解出來后u就十分好處理了。剩下的是而這也是一個(gè)可以分離變量的微分方程。v也迎刃而解： (這里) (7)這個(gè)方法看上去增加了復(fù)雜度，實(shí)際上卻把一個(gè)不能直接分離變量的微分方程化成了兩個(gè)可以直接分離變量的微分方程。v代換了y。所以，我們可以直接先把非齊次方程當(dāng)作齊次方程來解。 得： (8)注意這里的并非最終答案，從上一步我們知道這其實(shí)是v而已。v ，v僅是其中一部分。把（8）式和上面提到的（7）式比較一下： (7) (8)（7）式是最終的結(jié)論，（8）式是目前我們可以到達(dá)的地方。接下來的事情就簡單多了，和前面是一個(gè)思路，把代換代入（1）式，由于是一個(gè)可以令那個(gè)分離不出變量的項(xiàng)被消掉的特解，因此即可知一定會(huì)解得。常數(shù)變易法在這里并沒有顯出比變量代換法更好的優(yōu)勢（因?yàn)榫褪亲兞孔儞Q與常數(shù)變易法的正逆推導(dǎo)而已），但在解決高階線性微分方程時(shí)就會(huì)方便得多。從上面的一步步推導(dǎo)，可以總結(jié)為[4]：對于一階線性微分方程： dy/dx=M（x）y+N（x） （1） 若Q（x）=0，則（1）變?yōu)椋? dy/dx=M（x）y （2） 可知（2）為變量分離方程，所以可求得其通解為： （3） 在（3）中，將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c（x）使它滿足（1），從而求出c（x）。 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們就稱之為常數(shù)變異法。特別的，對于二階齊線性方程，如果能夠知道它的一個(gè)非零特解，則可通過降階求得與它線性無關(guān)的另一個(gè)特解，從而得到方程的通解，對于非齊次性方程，就需要再運(yùn)用常數(shù)變易法求出它的一個(gè)特解，問題自然輕松地被解決了，因此，對于高階常微分方程的求解問題的關(guān)鍵就在于尋找齊線性方程的一個(gè)非零特解。在一般的教材中，往往僅限于對于線性常微分方程的常數(shù)變易法，在此基礎(chǔ)上，本文深入探討了關(guān)于一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法，將所探討的結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)地分析、比較、歸納和總結(jié)并給出了每種解法的特點(diǎn)和使用條件。其次，本文初步探討了關(guān)于高階非線性常微分方程的常數(shù)變易法問題。另外，關(guān)于兩類非線性常微分方程的常數(shù)變易法的證明使得解法更加的容易理解，思路清晰。最后，我們可以得出我們做非線性常微分方程的方法可歸結(jié)為：線性化，可積化，降階化。第2章 一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例本章分兩節(jié)，第一節(jié)著重介紹關(guān)于一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法，第二節(jié)進(jìn)行舉例，以便能夠更加了解解題得方法。 一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法 基本類型Ⅰ我們知道可以通過常數(shù)變異法求解一階線性常微分方程，而對于一階非線性常微分方程的求解，還沒有很統(tǒng)一，確切的解法，那我們是不是可以將常數(shù)變異法從線性常微分方程推廣到非線性常微分方程上面呢？這一章我將會(huì)對這個(gè)問題進(jìn)行探討研究。其中M（x），N（y），f（x，y）在所考慮的區(qū)間上是連續(xù)的，且f（x，y）0。方程dy/dx=M（x）N（y）是可分離變量的常微分方程，則我們分離變量可得：dy/
黨政相關(guān)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1