二階微分方程的(編輯修改稿)
2024-11-22 20:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 微分方程 。 (2) 求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(s i n(dd 322??? yxxyyx數(shù) , 且 解 : 上式兩端對 x 求導(dǎo) , 得 : (1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知 (03考研 ) YANGZHOU UNIVERSITY 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)(dddd 222????? yyxyxy222)(ddddyyxyyx??????3)( yy?????代入原微分方程得 xyy s in???? ① (2) 方程①的對應(yīng)齊次方程的通解為 xx eCeCY ??? 21設(shè)①的特解為 ,s inc o s xBxAy ??? 代入①得 A＝ 0, ,21??B ,si n21 xy ???故 從而得①的通解 : YANGZHOU UNIVERSITY 題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xeCeCy xx si n2121 ??? ?由初始條件 ,23)0(,0)0( ??? yy 得 1,1 21 ??? CC故所求初值問題的解為 xeey xx si n21??? ? YANGZHOU UNIVERSITY 二、微分方程的應(yīng)用 1 . 建立數(shù)學(xué)模型 — 列微分方程問題 建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理規(guī)律 利用幾何關(guān)系 確定定解條件 ( 個(gè)性 ) 初始條件 邊界條件 可能還要銜接條件 2 . 解微分方程問題 3 . 分析解所包含的實(shí)際意義 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 YANGZHOU UNIVERSITY 例 4. 解 : 欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星 , 為使其擺脫地球 引力 , 初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度 , 試計(jì)算 此速度 . 設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為 M , 衛(wèi)星 的質(zhì)心到地心的距離為 h , 由牛頓第二定律得 : 222ddhmMGthm ??00 dd, vthRht ???② ,0v為(G 為引力系數(shù) ) 則有初值問題 : 222ddhMGth ??又設(shè)衛(wèi)星的初速度 ，已知地球半徑 51063 ??R機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ③ YANGZHOU UNIVERSITY ),(dd hvth ?設(shè) ,dddd 22hvvth ?則 代入原方程 ② , 得 2ddhMGhvv ?? hhMGvv dd2??兩邊積分得 ChMGv ??221利用初始條件 ③ , 得 RMGvC ?? 2021因此 ? ?RhMGvv 112121 202 ???????221lim vh RMGv 121 20 ?注意到 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 YANGZHOU UNI
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