可降階的高階微分方程(2)(編輯修改稿)
2025-06-17 17:48 本頁面
【文章內容簡介】 y ， p 的一階方程 若已求得它的通解為 ),( 1cypy ???? 變量可分離的一階方程 積分得 21 ),(1 cxdycy ??? ?即得原方程的通解 一般情況 ),( )1()()( ?? nkn yyyfy ?特點： .x右端不顯含自變量解法： )( ypy ??設 ,dydPpdxdydydpy ?????則,)( 2222dydPPdyPdPy ????? ,??階方程，的代入原方程得到新函數(shù) )1()( ?nyP求得其解為 ),()(11 ???? nCCyyPdxdy ?原方程通解為 ,),(11nnCxCCy dy ??????例 5 解方程 3)( yyy ??????解 令 py ?? dydppy ????)1( 2ppdydpp ???若 0?p 21 pdydp ??? 1ar c t an cyp ???即 )t an( 1cyp ?? dxcydy ??? )t a n ( 1積分得 21 )s i n (ln cxcy ???即 xeccy 21 )s i n ( ??或 12 )ar c s i n ( cecy x ??若 0?p 則 cy? 包含在通解中 如一方程既屬于不含 x 型 又屬于不含 y 型 則一般而言 若兩邊可消去 p 作為不含 x 型（類型三）來解較簡單 若兩邊不可消去 p 作為不含 y 型（類型二）來解較簡單 注 例 6 解方程 2?????? yy解 令 yz ??? 2??dxdzz 42 ??dxdz)(4 12 cxz ???12 cxy ??????2231 )(34 ccxy ??????32251 )(158 cxccxy ??????12 cxz ????例 7 .02 的通解求方程 ????? yyy解一 ),( ypy ??設 ,dydPpy ???則代入原方程得 ,02 ??? PdydPPy ,0)( ??? PdydPyP即，由 0???
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