可降階的高階微分方程 (2)-文庫吧
2025-04-22 17:48 本頁面
【正文】 方程 ?? yxy解 ),()4( xPy ?設(shè) )()5( xPy ??代入原方程 ,0??? PPx ）（ ?P解線性方程 , 得 xCP 1? ,1)4( xCy ?即兩端積分 ,得 ,21 221 CxCy ?????,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy ?????原方程通解為 54233251 dxdxdxdxdy ?????二、 型 ),( yxfy ????特點(diǎn)： 右端不含 y 解法： 降階 令 py ?? py ????? 代入原方程得 ),( pxfdxdp ? 若已求得其通解為 ),( 1cxp ?? 回代 py ?? 得 ),( 1cxdxdy ?? 變量可分離的一階方程 積分得 ? ?? 21 ),( cdxcxy ?例 3 解方程 3,1,2)1( 002 ???????? ?? xx yyyxyx解 令 py ?? xppx 2)1( 2 ????分離變量得 212xxpdp??12 ln)1l n (ln cxp ????即 )1( 21 xcp ?? )1( 21 xcy ????由 得30 ?? ?xy 31 ?c)1(3 2xy ???? 23 3 cxxy ????由 1120 ???? cy x故 133 ??? xxy解方程 2)(1 yy ?????解 pypy ???????令 21 pdxdp ???dxpdp ??? 211ar c t an cxp ???即 )t an( 1cxp ??? ??? dxcxy )t a n ( 121 )c os (ln ccx ????例 4 三、 型 ),( yyfy ????特點(diǎn)： 右端不含 x 降階 解法： 令 pdxdyy ??? dxdpy ????由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 dxdydydpdxdpy ?????dydpp?代入原方程得 ),( pyfdydpp ?這是一個(gè)關(guān)于
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