可降階的高階微分方程(2)(已修改)
2025-05-28 17:48 本頁面
【正文】 本節(jié)介紹幾種特殊的高階方程，它們的共同特點是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可將其化成較低階的方程來求解。 可降階的高階微分方程 前面介紹了五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程為數(shù)相當(dāng)有限，特別是高階方程，除去一些特殊情況可用降階法求解，一般都沒有初等解法， 以二階方程 0),( ???? yyyxF 為例展開討論 重點討論能將二階導(dǎo)數(shù)解出的情況 ),( yyxfy ???? 如果我們設(shè)法作變量代換把它從二階降至一階，就有可能應(yīng)用前節(jié)中所介紹的方法來求解 一、 型 )( xfy ???特點： 右端不含 yy ?, 僅是 x 的函數(shù) 解法： 將 y? 作為新的未知函數(shù) 降階 令 yz ?? zy ????? 有 )( xfz ?? 變量可分離的一階方程 積分 ? ?? 1)( cdxxfz即 ? ??? 1)( cdxxfy再積分 ? ? ??? 21])([ cxcdxdxxfy對 n 階方程 同理 )()( xfy n ?令 )1( ?? nyz )( xfz ???積分得 ? ??? 1)1( )( cdxxfy n如此連續(xù)積分 n 次即得原方程的含有 n個任意常數(shù)的通解 一般情況 ),( )1()()( ?? nkn yyxfy ?特點： ., )1( ?? kyyy ?及不顯含未知函數(shù)解法： zy k ?)(令., )()()1( knnk zyzy ?? ???則).,( )1()( ??? ? knkn zzxfz ?z 的 (nk)階方程 ,z求得 ,)( 次連續(xù)積分將 kzy k ?可得通解 . 例 1 xy s in)4( ?解 1c os cxy ??????21s i n cxcxy ??????322121c o s cxcxcxy ?????432231 2161s i n cxcxcxcxy ?????例 2 .0)4()5( 的通解求
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