[理學(xué)]x08-1_2_3一階微分方程(已修改)
2025-01-31 14:43 本頁(yè)面
【正文】 第八章 微分方程（組） 167。 81 微分方程（組） 解 )( xyy ?設(shè)所求曲線為xdxdy 2? ?? x d xy 22,1 ?? yx 時(shí)其中,2 Cxy ??即,1?C求得.12 ?? xy所求曲線方程為一、問(wèn)題的提出 例 1 一曲線通過(guò)點(diǎn) (1 , 2 ), 且在該曲線上任一點(diǎn)),( yxM 處的切線的斜率為 x2 , 求這曲線的方程 . yo2y x C??x例 2 設(shè)某種物質(zhì)沿 ox軸均勻分布在區(qū)間 [0,1]上分布密度 ,求分布函數(shù) S(x) ()x???dSdx??常微分方程 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程 . 例 ,0)( 2 ??? xdxdtxt,32 xeyyy ??????,yxxz ????二、微分方程的定義 偏微分方程 . 微分方程的階 : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) . ,0),( ??yyxF一階微分方程 高階 (n)微分方程 ,0),( )( ?? nyyyxF ?分類(lèi) 1: 例 1 、 022???????? yxyyx 是 ______ 階微分方程；2 、 022???cQdtdQRdtQdL 是 ______ 階微分方程；3 、 ???? 23s i n)( ??dd是 ______ 階微分方程；分類(lèi) 2: 單個(gè)微分方程與微分方程組 . ?????????,2,23zydxdzzydxdy(2)特解 : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解 . 微分方程的解 : 代入微分方程使方程恒等的函數(shù) 微分方程的解 (1)一般解（通解） : 含有相互獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的微分方程的解。 不唯一，求解方法求不定積分 2,y?? ? 2 12y x C x C? ? ?通解其解是過(guò)定點(diǎn)的一條積分曲線 。 ??????? 00),(yyyxfyxx一階 : 二階 : ????????????? 00 00 ,),(yyyyyyxfyxxxx初始條件 : 用來(lái)確定任意常數(shù)的條件 . 解的圖象 : 微分方程的積分曲線 . 通解的圖象 : 積分曲線族 . 例 1 驗(yàn)證 : 函數(shù) ktCktCx s i nc os21 ??是微分 方程 0222?? xkdtxd的解 . 并求滿足初始條件0,00????ttdtdxAx 的特解 . 解 ,co ssi n 21 ktkCktkCdtdx ????,si nc o s 221222ktCkktCkdt xd ???22dx xdt將 和 的表達(dá)式代入原方程恒等.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ????? ktCktCkktCktCk.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ??,0,00 ????tt dtdxAx? .0,21 ??? CAC所求特解為 .c o s ktAx ?P(x,y) Q O x x y ?ta n 2yx? ?y=y(x) 例 2 設(shè)曲線上 任 點(diǎn) ),( yxP 處的法線與 X 軸的交點(diǎn)為 Q, 且線段 PQ 被 y 軸平分 , 試寫(xiě)出該曲線所滿足的微分方程 . 02,2 ??????? xyyyxy已知函數(shù) 1???? ? xbeaey xx , 其中 ba , 為任意常 數(shù) , 試求函數(shù)所滿足的微分方程 . 解： 例 3： ,1???? ? xx beaey1??????? ? xybeaey xxxyy ????? 1為所求的微分方程。 1????? xyy例 4 列車(chē)在平直的線路上以 20 米 / 秒的速度行駛 , 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度 ? 米 / 秒 2 , 問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停?。恳约傲熊?chē)在這段時(shí)間內(nèi)行駛了多少路程？ 解 )(, tssst ?米秒鐘行駛設(shè)制動(dòng)后 2??dt sd,20,0,0 ???? dtdsvst 時(shí) Ctdtdsv ???? CtCts ????0,20 21 ?? CC, 2 tts ???),( 秒??t).( 2 米??????s開(kāi)始制動(dòng)到列車(chē)完全停住共需 列車(chē)在這段時(shí)間內(nèi)行駛了 通解 特解 0 .4 2 0 0dsvtdt? ? ? ? ?167。 82 一階微分方程的解法 可分離變量的一階微分方程 dxxfdyyg )()( ?的方程稱為可分離變量的微分方程 . 5422 yxdxdy ?例如 ,2 254 dxxdyy ?? ?設(shè)函數(shù) )( yg 和 )( xf 是連續(xù)的 ,? ?? dxxfdyyg )()(設(shè)函數(shù) )( yG 和 )( xF 是依次為 )( yg 和 )( xf 的原函數(shù) , CxFyG ?? )()(為微分方程的一般解（通解） . 分離變量法 形如 解法： 例 1 求解微分方程 .2 的通解xydxdy ?解 分離變量 ,2 xdxydy ?兩端積分 ,2?? ? xdxydy12ln Cxy ??.2 為所求通解xCey ??例 2 求解微分方程 2 .1dy x ydx x??的通解解 ,1 2xx d xydy ??
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