【文章內(nèi)容簡介】 方程 ??????? ),(,),( zyxzyxfuuuu zzyyxx ，該方程稱為位勢方程或泊松 (Poisson)方程。 f=0稱為拉普拉斯 (Laplace)方程。此時不再有初始條件，而邊界條件變成以下三種 [3]： （ 1） 狄利克雷條件 .),(,),(),( ???? zyxzyxzyxu ? () 10 （ 2） 諾依曼條件 .),(,),(),( ?????? zyxzyxzyxnu ? () （ 3） 羅賓條件 .),(,),(),(),( ??????? zyxtzyxzyxuzyxnu ?? () 相應的定解問題分別稱為狄利克雷、諾依曼、羅賓邊值問題。 當薄膜在不隨時間變化的外力 ),( zyxF 作用下處于平衡位置時，薄膜的形狀),( zyxu 就滿足二維的泊松方程。 在點 ),( 000 zyx 處質(zhì)量為 m 的質(zhì)點所形成的 引力場，在空間位置 ),( zyxP 處的力場強度為 rrmzyxF 3),( ?? ，其中 rrzzyyxx ????? ,),(r 000 。顯然 ).(),( rmzyxF ?? () 我們將 rmzyxV ?),( 稱為引力場的位勢函數(shù)。容易驗證：當 ）（ zyx , 不是原點時， .0),( ?? zyxV 這便是 ??????? ),(,),( zyxzyxfuuuu zzyyxx () 稱為位勢方程的由來。 167。 定解問題的適應性 物理學、力學及工程技術上的許多問監(jiān)都歸結(jié)為各式各樣的偏微分方程的定解問題。研究這些問題的 解法，用盡可能方便的方法求出解的表達式，再對表達式進行數(shù)學分析，得出所討論問班的定量結(jié)果，是教學物理方程的中心問題。但 11 是，所提偏微分方程定解問題是否合理，定解條件是否足夠，也是我們必須重點考慮的。有時在研究的物理系統(tǒng)中由于某種原因在某些部分發(fā)生了突變，那么在突變點就要給出不同的條件。這就要研究定解問從的所謂適定性，即要研究偏微分方程定解問班解的存在性、唯一性及穩(wěn)定性。適定性的研究也是定解問題的近似解法的前提與基礎。 (一 )定解問班解的存在性 :即研究在已知數(shù)據(jù)（偏傲分方程和定解條件中的已知函故）具有適當光滑性 的前提下，定解問題的解是否存在。只有證明了問題的解是存在的，才能說明所提的方住與定解條件是合理的，相互沒有矛后。 (二 )定解問題解的唯一性 :即研究在適當?shù)暮瘮?shù)類中，定解問的解是否只有一個，即研究定解條件是否足夠。 在物理意義上，所討論的狀態(tài)唯一確定應是不成問題的，但是從自然現(xiàn)象到偏微分方程的定解問題，總要加一些條件，做一定的簡化，所以得到的只是自然現(xiàn)象的近似描述。這種簡化描述的合理性需要驗證，研究問題的適應性是重要的檢驗方式。 (三 )定解問題的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應的微小變動。 數(shù)學物理方程主要研究適應的定解問題，但有些實際問題如石油、礦物勘探的研究也提出不適應的定解問題。因此，不適定問題亦被人們所關注。 167。 二階偏微分方程 的分類、標準形式與特征方程 考慮 二階偏微分方程 ? ? 0,,11,2 ????????? ??????? ??nnnji jiij xuxuuxxFyx uxa ?? () 式中 aij(x)=aij(x1,x2,? ,xn)為 x1,x2,? ,xn 的已知函數(shù) . [特征方程特征方向特征曲面特征平面特征錐面 ] 代數(shù)方程 ? ??? ?nji jiji aaxa1, , 0 () 12 稱為二階方程 (1)的特征方程；這里 a1,a2,? ,an 是某些參數(shù)，且有 .如果點x =(x1 ,x2 ,? ,xn )滿足特征方程，即 ? ? 01, 0 ??? jinji ij aaxa () 則過 x 的平面 ? ??? ??nk kkk xxa1 0 0的法線方向 l:(a1,a2,? ,an)稱為二階方程的特征方向；如果一個 (n )維曲面，其每點的法線方向都是特征方向，則稱此曲面為特征曲面；過一點的 (n )維平面，如其法線方向為特征方向，則稱這個平面為特征平面，在一點由特征平面的包絡組成的錐面稱為特征錐面 . [n 個自變量方程的分類與標準形式 ] 在點 P(x1 ,x2 ,? ,xn )，根據(jù)二次型 ? ? jinji nij aaxxxa??1, 00201 , ? (ai 為參量 ) () 的特征根的符號，可將方程分為四類： (i) 特征根同號，都不為零，稱方程在點 P 為橢圓型 . (ii) 特征根都不為零，有 n 個具有同一種符號 ，余下一個符號相反，稱方程在點 P 為雙曲型 . (iii) 特征根都不為零，有 個具有同一種符號 (nm1)，其余 m 個具有另一種符號，稱方程在點 P 為超雙曲型 . (iv) 特征根至少有一個是零，稱方程在點 P 為拋物型 . 若在區(qū)域 D 內(nèi)每一點方程為橢圓型，雙曲型或拋物型，則分別稱方程在區(qū)域D 內(nèi)是橢圓型、雙曲型或拋物型 . 在點 P 作自變量的線性變換可 方程化為標準形式 ： 橢圓型： () 13 雙曲型： () 超雙曲型： () 拋物型： () 式中 Φ 為不包含二階導數(shù)的項 . [兩個自變量方程的分類與標準形式 ] 方程的一般形式為 () a11,a12,a22 為 x,y 的二次連續(xù)可微函數(shù)，不同時為零 . 方程 a11dy2 a12dxdy+a22dx2=0 () 稱為方程 ()的特征方程 .特征方程的積分曲線稱為二階方程 ()的特征曲線 . 在某點 P(x0,y0)的鄰域 D 內(nèi)，根據(jù)Δ =a122－ a11a12 的符號將方程分類： 當Δ 0 時，方程為雙曲型； 當Δ =0 時，方程為拋物型； 當Δ 0 時，方程為橢圓型 . 在點 P 的鄰域 D 內(nèi)作變量替換，可 將方程化為標準形式 ： （ i） 雙曲型：因Δ 0，存在兩族實特征曲線 ， ，作變換 ， 和 14 方程化為標準形式 () 或 () （ ii） 拋物型 : 因Δ =0，只存在一族實的特征曲線 ，取二次連續(xù)可微函數(shù) ，使 ，作變換 ， ， 方程化為標準形式 ???????? ???????? ????? uuuu ,222 () （ iii） 橢圓型：因Δ 0，不存在實特征曲線，設 () 為 的積分， 不同時為零，作變量替換 ，,方程化為標準形式 () 15 第二 章 泛定方程的求解 167。 波動方程是最典型的雙曲型方程。除了振動問題外，它還可以描寫電磁波及聲波的傳播現(xiàn)象。本章首先介紹波動方程的柯西問題解的表達式，證明解的存在性。然后用分離變量法給出 波動方程混合問題的解法，證明問題的存在性。最后，能量不等式證明這些定理問題的解的唯一性與穩(wěn)定性。波動方程的特征線是非常重要的概念，有著非常最重要的作用。分離變數(shù)法除適用于解波動方程混合問題外，還可用于解其它類型方程的定解問題。 均勻弦的橫振動、均勻桿的縱震動和理想傳輸線方程都屬于一維波動方程，它們具有統(tǒng)一形式 ,0 22222 ????????? ???? uxat 即 .0)( ??????????? xatxat ）（ （ 1） 通解 )()()()()()()(0)(,)(212122atxfatxfufffdfufuuxatxxttxatxxtttax????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????令 () 16 該式即一維波動方程的通解 其中 21 ff和 都是任意函數(shù)。不同于常微分方程的情況，式中出現(xiàn)任意函數(shù)而不是任意常數(shù)。 通解具有鮮明的物理意義。以 )(2 atxf ? 而論，該用以速度 a 沿 x 正方向移動的坐標軸 X ,則新舊坐標系和時間之間的關系為 ??? ? ??tT atxX () 而 ),()( 22 Xfatxf ?? () 與時間 T 無關。這是說，函數(shù)圖像在動坐標系中保持不變，亦即是隨著動坐標系以速度 a 沿 x 正方向移動。同理， )(1 atxf ? 是以速度 a 沿 x 負方向移動的行波。 這樣，一維波動方程描寫以速度 a 沿 x 正負兩個方向傳播的行波。 （ 2）達朗貝爾公式 例 、求無限長弦的自由振動，其數(shù)學模型是一維波動方程的初值問題。 ? ?? ? ? ?2000 , ,.tt x xttu a u t xuu x xt??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?? () 解：將初始條件代入通解 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?039。39。0,ttu f x g x xu af x ag x xt????? ? ?? ? ? ? ?? 17 () ? ? ? ? ? ?01 xf x g x d ca ? ? ?? ? ? ??積 分 第 二 式 得 () ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?00,112112xxfgf x x d cag x x d ca? ? ? ?? ? ? ???? ? ???????? ? ???????解 的 聯(lián) 立 方 程 組 ， 得 () 則初值問題的解為 ? ? ? ? ? ? ? ?11, 22 x a tx a tu t x x a t x a t da? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? () 此式稱為達朗貝爾公式。 當 ? ? ? ?,2 RCx ?? ? ? ? ?RCx 1?? 時，達朗貝爾公式給出