【正文】 1,s i nc os)(,22)( 000ktl akBtl akAtTtBAtTkkk?? () 其中 kkk BAc , 是任意常數(shù)。令 ，??????,2,1,c os)s i nc os(),(,22),( 000kxlktl akBtl akAtxutBAtxukkk???() 再聯(lián)系 ()方程及邊界條件和初值條件，為此作形式解 .c os)s i nc os(22),(),(1000xlktl akBtl akAtBAtxutxukkkkk??? ????????????? () 滿足初始條件，則要求 25 .c o s2)0,()(,c o s2)0,()(1010??????????????kktkkxlkBl akBxuxxlkAAxux????? () 取 ? ? ? ?xx ?? 及 在區(qū)間 ? ?l，0 上關于函數(shù)系 ? ?xlk?cos 的傅里葉系數(shù)，得 ? ?? ?? ? .,2,1,c o s2,2,2,1,0,c o s20000??????????kdlkakBdlBkdlklAlkllk?????????????? () 如果 ???x? ? ?? ?lC ,02 ， ? ?? ?lC ,01?? ， ? ? ? ?xx ?? ??? 及 在 ? ?l，0 上分段光滑， 且滿足前面的相容條件，即 ? ? ? ? ? ? ? ? .000 ???????? ll ???? () 則 ?.2,1,11,33???????????????? ?? kAkaBBk lA kkkk ?? () 其中 ? ?? ? ??????????dlklAdlklBlklkc o s2,s in200??????????? () 分別是 ? ? ? ?xx ?? ????? 及 的傅里葉系數(shù)。將 ()()代入表達式 ()即得古典解。 （ 2）求解具羅賓邊界條件的混合問題 下一個例子是一端為第一類齊次邊界條件，另一端為第二類齊次邊界條件。 【例題】 研究細桿導熱問題 。初始時刻桿的一端溫度為零度，另一端溫度為 0u ，桿上溫度梯度均勻，零度的一端保持溫度不變，另一端跟外界絕熱。試求細桿上溫度的變化。 解 桿上溫度 ? ?txu , 滿足下列泛定方程和定解問題： 26 ? ?? ? ? ?? ? ? ?.00, ,0,0,0,0022lxlxuxutlutuckauauxxxt???????? ? () 泛 定方程和邊界條件都是齊次的，可以應用分離變數(shù)法 令 ( , ) ( ) ( )x t x tU X T? ，代入 (a)可得 ? ? ? ?.0。0,00,02 ?????????????TaTlXXXX?? () 若 0?? ，則 0?X 無意義。 如果 0?? ，則方程的解是 ? ? .s i nc o s 21 xCxCxX ?? ?? () 且 ?????.0c os,021 lCC ?? () 又 ? ? 0c os0 ,0,00 21 ?????????? lxX CC ?? () 在 0cos ?l? 的條件下， 2C 是任意常數(shù)。條件 0cos ?l? ，即? ? ? ?.,2,1,04 12 2 22 ???? klk ?? () 代入本征函數(shù)得 ? ? ? ? xlkCxX 2 12s in2 ??? () 再看關于 T 的方程，改寫成 .0212222??????? ??? TalkT? () 這個方程的解是 ? ? tl akk CetT 2 22221 ??????? ??? () 這樣， ? ?txu , 的一般解為 27 ? ? ? ?????????? ?? ??021212s i n, 2222kltakk lxkeCtxu ?? () 系數(shù) kC 應由初始條件確定。 ? ? ,021s i n 00lxxlulxkCk k????????? ???? ? () 即 ? ?? ? .2181212s i n222000???????????????? ?kludlklulCklk () 得到答案 ? ? ? ?????????? ?? ?????? ??????? ???021220 .21s i n21112, 2222kltakklxkekutxu ??? () 167。 非齊次問題的解法 本節(jié)舉例說明非齊次方程及非齊次邊界條件的混合問題的解法，先研究具齊次邊界條件的混合問題。 ? ? otlxtxfuau xxtt ??? ,0,2 ?? () ? ? ? ?? ? ? ? ,0,0, ,0,0, lxxxu lxxxut ?????? ?? () ? ? ? ? 0,0,0 ??? ttlutu . () 28 在 ()中求解齊次方程的相應問題時，用分離變量法得到特征函數(shù)系? ?xlk?sin ，且將初始函數(shù) ? ? ? ?xx ?? , 展成傅立葉級數(shù)： ? ? ? ?? ? ? ? ??????????????????dlklxlkxdlklxlkxlkkkklkks i n2,s i ns i n2,s i n011 0??? ??????????? () 為求解非齊次問題 ()，將 ? ?txf , 也展開成傅立葉級數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ?? 1 0 s i n,2,s i n, k lkk dlktfltxfxlktftxf ????? () 且把 ? ?txu , 也寫成傅立葉級數(shù)形式 ? ? ? ?????? 1 s in, k k xlktutxu ? () 這里 t 視為參數(shù)，為確定未知的 ??tuk ，將 ()代入問題得到 ? ? ? ? ? ?? ? xlkxlkuxlktfxlktulkatukkkkkkkkk?????????????????????????????? ???11112222s i ns i n0s i ns i n () ? ? xlkxlkuk k kk ??? s i ns i n01 1? ???? ????? () 比較系數(shù)便知 ??tuk 滿足 ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????????????,2,1,0,0,0,2 222kuuttftulkatukkkkkkk??? () 即可?？捎贸?shù)變易法求得常微分方程初值問題的解為 ? ? ? ? ? ? ?????????? dtl akfak ltl akak ltl aktu l kkkk ???? ? s i ns i nc os 0 () 如果 ???x? ? ?? ?lC ,03 ， ???x? ? ?? ?lC ,02 ， ? ??txf , ? ? ? ?? ???? ,0,02 lC 且滿足相容條件，則將 ()代入 ()，則 ? ?txu , 的 這個級數(shù)表示式收斂，且關于 tx, 可逐項微分兩次，從而是混合問題的古典解。 29 若進一步考慮具非零邊界值的混合問題： ? ? otlxtxfuau xxtt ??? ,0,2 ?? () ? ? ? ?? ? ? ? ,0,0, ,0,0, lxxxu lxxxut ?????? ?? () ? ? ? ? ? ? ? ? .0,0 21 ??? tttluttu ?? () 作未知函數(shù)的變換 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, 121 ttlxttxutxU ??? ???? () 則 U 滿足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ????????????????????????????????????????????,0,0,0,0,0000,0,0000,0,0,1211211212ttlUtUlxlxxxUlxlxxxUtlxttlxttxfUaUtxxtt??????????? () 即歸結為與具齊次邊界條件的混合問題同類的混合問題 ，則按照上述步驟繼續(xù)推演，可得到解 。 167。 泊松方程 泊松方程是數(shù)學中一個常見于靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程。是從法國數(shù)學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。 [4] 泊松方程 ? ?zyxfu ,?? 是非齊次的拉普拉斯方程。與時間無關，應用特解法。 取泊松方程的一個特解 v ，令 wvu ?? 。則 0????????? fuvuw ，這不再是泊松方程而是拉普拉斯方程。即歸結為拉普拉斯方程 ，則按照上述步驟繼續(xù)推演，可得到解 。 167。 分離變數(shù)法小結 [5] 分離變量法是將一個偏微分方程分解為兩個或多個只含一個變量的常微分方程。 將方程中含有各個變量的項分離開來，從而將原方程拆分成多個更簡單的只含一個自變量的常微分方程。運用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程。利用高數(shù)知識、級數(shù)求解知識，以及其他巧妙的方法， 30 求出各個方程的通解。最后將這些通解“組裝起 來”。 參考文獻 [1] 梁昆淼 .數(shù)學物理方法（第四版） 高等教育出 版社， 2022， . [2] 朱汝金 .數(shù)學物理方法 M 北京 :高等教育 出版社 , 2022， 1. 47 [3] 朱汝金 .數(shù)學物理方法 M 北京 :高等教育 出版社 , 2022， 1. 1011 [4] [EB/OL]— 網(wǎng)上電子公告（ electronic bulletin board online） [5] [EB/OL]— 網(wǎng)上電子公告（ electronic bulletin board online）