【正文】 1,s i nc os)(,22)( 000ktl akBtl akAtTtBAtTkkk?? () 其中 kkk BAc , 是任意常數(shù)。令 ，??????,2,1,c os)s i nc os(),(,22),( 000kxlktl akBtl akAtxutBAtxukkk???() 再聯(lián)系 ()方程及邊界條件和初值條件，為此作形式解 .c os)s i nc os(22),(),(1000xlktl akBtl akAtBAtxutxukkkkk??? ????????????? () 滿(mǎn)足初始條件，則要求 25 .c o s2)0,()(,c o s2)0,()(1010??????????????kktkkxlkBl akBxuxxlkAAxux????? () 取 ? ? ? ?xx ?? 及 在區(qū)間 ? ?l，0 上關(guān)于函數(shù)系 ? ?xlk?cos 的傅里葉系數(shù)，得 ? ?? ?? ? .,2,1,c o s2,2,2,1,0,c o s20000??????????kdlkakBdlBkdlklAlkllk?????????????? () 如果 ???x? ? ?? ?lC ,02 ， ? ?? ?lC ,01?? ， ? ? ? ?xx ?? ??? 及 在 ? ?l，0 上分段光滑， 且滿(mǎn)足前面的相容條件，即 ? ? ? ? ? ? ? ? .000 ???????? ll ???? () 則 ?.2,1,11,33???????????????? ?? kAkaBBk lA kkkk ?? () 其中 ? ?? ? ??????????dlklAdlklBlklkc o s2,s in200??????????? () 分別是 ? ? ? ?xx ?? ????? 及 的傅里葉系數(shù)。將 ()()代入表達(dá)式 ()即得古典解。 （ 2）求解具羅賓邊界條件的混合問(wèn)題 下一個(gè)例子是一端為第一類(lèi)齊次邊界條件，另一端為第二類(lèi)齊次邊界條件。 【例題】 研究細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題 。初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度，另一端溫度為 0u ，桿上溫度梯度均勻，零度的一端保持溫度不變，另一端跟外界絕熱。試求細(xì)桿上溫度的變化。 解 桿上溫度 ? ?txu , 滿(mǎn)足下列泛定方程和定解問(wèn)題： 26 ? ?? ? ? ?? ? ? ?.00, ,0,0,0,0022lxlxuxutlutuckauauxxxt???????? ? () 泛 定方程和邊界條件都是齊次的，可以應(yīng)用分離變數(shù)法 令 ( , ) ( ) ( )x t x tU X T? ，代入 (a)可得 ? ? ? ?.0。0,00,02 ?????????????TaTlXXXX?? () 若 0?? ，則 0?X 無(wú)意義。 如果 0?? ，則方程的解是 ? ? .s i nc o s 21 xCxCxX ?? ?? () 且 ?????.0c os,021 lCC ?? () 又 ? ? 0c os0 ,0,00 21 ?????????? lxX CC ?? () 在 0cos ?l? 的條件下， 2C 是任意常數(shù)。條件 0cos ?l? ，即? ? ? ?.,2,1,04 12 2 22 ???? klk ?? () 代入本征函數(shù)得 ? ? ? ? xlkCxX 2 12s in2 ??? () 再看關(guān)于 T 的方程，改寫(xiě)成 .0212222??????? ??? TalkT? () 這個(gè)方程的解是 ? ? tl akk CetT 2 22221 ??????? ??? () 這樣， ? ?txu , 的一般解為 27 ? ? ? ?????????? ?? ??021212s i n, 2222kltakk lxkeCtxu ?? () 系數(shù) kC 應(yīng)由初始條件確定。 ? ? ,021s i n 00lxxlulxkCk k????????? ???? ? () 即 ? ?? ? .2181212s i n222000???????????????? ?kludlklulCklk () 得到答案 ? ? ? ?????????? ?? ?????? ??????? ???021220 .21s i n21112, 2222kltakklxkekutxu ??? () 167。 非齊次問(wèn)題的解法 本節(jié)舉例說(shuō)明非齊次方程及非齊次邊界條件的混合問(wèn)題的解法，先研究具齊次邊界條件的混合問(wèn)題。 ? ? otlxtxfuau xxtt ??? ,0,2 ?? () ? ? ? ?? ? ? ? ,0,0, ,0,0, lxxxu lxxxut ?????? ?? () ? ? ? ? 0,0,0 ??? ttlutu . () 28 在 ()中求解齊次方程的相應(yīng)問(wèn)題時(shí)，用分離變量法得到特征函數(shù)系? ?xlk?sin ，且將初始函數(shù) ? ? ? ?xx ?? , 展成傅立葉級(jí)數(shù)： ? ? ? ?? ? ? ? ??????????????????dlklxlkxdlklxlkxlkkkklkks i n2,s i ns i n2,s i n011 0??? ??????????? () 為求解非齊次問(wèn)題 ()，將 ? ?txf , 也展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ?? 1 0 s i n,2,s i n, k lkk dlktfltxfxlktftxf ????? () 且把 ? ?txu , 也寫(xiě)成傅立葉級(jí)數(shù)形式 ? ? ? ?????? 1 s in, k k xlktutxu ? () 這里 t 視為參數(shù)，為確定未知的 ??tuk ，將 ()代入問(wèn)題得到 ? ? ? ? ? ?? ? xlkxlkuxlktfxlktulkatukkkkkkkkk?????????????????????????????? ???11112222s i ns i n0s i ns i n () ? ? xlkxlkuk k kk ??? s i ns i n01 1? ???? ????? () 比較系數(shù)便知 ??tuk 滿(mǎn)足 ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????????????,2,1,0,0,0,2 222kuuttftulkatukkkkkkk??? () 即可?？捎贸?shù)變易法求得常微分方程初值問(wèn)題的解為 ? ? ? ? ? ? ?????????? dtl akfak ltl akak ltl aktu l kkkk ???? ? s i ns i nc os 0 () 如果 ???x? ? ?? ?lC ,03 ， ???x? ? ?? ?lC ,02 ， ? ??txf , ? ? ? ?? ???? ,0,02 lC 且滿(mǎn)足相容條件，則將 ()代入 ()，則 ? ?txu , 的 這個(gè)級(jí)數(shù)表示式收斂，且關(guān)于 tx, 可逐項(xiàng)微分兩次，從而是混合問(wèn)題的古典解。 29 若進(jìn)一步考慮具非零邊界值的混合問(wèn)題： ? ? otlxtxfuau xxtt ??? ,0,2 ?? () ? ? ? ?? ? ? ? ,0,0, ,0,0, lxxxu lxxxut ?????? ?? () ? ? ? ? ? ? ? ? .0,0 21 ??? tttluttu ?? () 作未知函數(shù)的變換 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, 121 ttlxttxutxU ??? ???? () 則 U 滿(mǎn)足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ????????????????????????????????????????????,0,0,0,0,0000,0,0000,0,0,1211211212ttlUtUlxlxxxUlxlxxxUtlxttlxttxfUaUtxxtt??????????? () 即歸結(jié)為與具齊次邊界條件的混合問(wèn)題同類(lèi)的混合問(wèn)題 ，則按照上述步驟繼續(xù)推演，可得到解 。 167。 泊松方程 泊松方程是數(shù)學(xué)中一個(gè)常見(jiàn)于靜電學(xué)、機(jī)械工程和理論物理的偏微分方程。是從法國(guó)數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家及物理學(xué)家泊松而得名的。 [4] 泊松方程 ? ?zyxfu ,?? 是非齊次的拉普拉斯方程。與時(shí)間無(wú)關(guān)，應(yīng)用特解法。 取泊松方程的一個(gè)特解 v ，令 wvu ?? 。則 0????????? fuvuw ，這不再是泊松方程而是拉普拉斯方程。即歸結(jié)為拉普拉斯方程 ，則按照上述步驟繼續(xù)推演，可得到解 。 167。 分離變數(shù)法小結(jié) [5] 分離變量法是將一個(gè)偏微分方程分解為兩個(gè)或多個(gè)只含一個(gè)變量的常微分方程。 將方程中含有各個(gè)變量的項(xiàng)分離開(kāi)來(lái)，從而將原方程拆分成多個(gè)更簡(jiǎn)單的只含一個(gè)自變量的常微分方程。運(yùn)用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個(gè)齊次的或易于求解的方程。利用高數(shù)知識(shí)、級(jí)數(shù)求解知識(shí)，以及其他巧妙的方法， 30 求出各個(gè)方程的通解。最后將這些通解“組裝起 來(lái)”。 參考文獻(xiàn) [1] 梁昆淼 .數(shù)學(xué)物理方法（第四版） 高等教育出 版社， 2022， . [2] 朱汝金 .數(shù)學(xué)物理方法 M 北京 :高等教育 出版社 , 2022， 1. 47 [3] 朱汝金 .數(shù)學(xué)物理方法 M 北京 :高等教育 出版社 , 2022， 1. 1011 [4] [EB/OL]— 網(wǎng)上電子公告（ electronic bulletin board online） [5] [EB/OL]— 網(wǎng)上電子公告（ electronic bulletin board online）