【正文】 ()????????????????? ????????????IgIItID??為 增 函 數(shù) ， 0 基于以上分析，構(gòu)造合適的曲率函數(shù) ，該函數(shù)非遞減。根據(jù) CDD 模型???g和 TVEuler 模型，構(gòu)造如下曲率函數(shù)，其中 .這樣構(gòu)造的目的，????0,1ln1??????spdscebasgsp 0,?dcba一是方便探討冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)這些不同曲率函數(shù)對(duì)修復(fù)結(jié)果的影響，這些函數(shù)圖像如圖 所示；二是它概括了之前介紹的很多模型，如其他為 0，則為 TV 模型； ，其它系數(shù)為 0 時(shí)，則可得 CDD 的一,1?d 1,?pa般模型。而且此模型一定程度上，也可彌補(bǔ) TV 模型在修復(fù)大面積缺損區(qū)域時(shí)造成視覺(jué)不連通的缺陷。所以新建立的修復(fù)模型為江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）28 ()???????? ????????????????????????????????? 0,1ln1,0spdscsebpasg IIDItI ???圖 當(dāng) 取不同值時(shí)，可得到特殊情況下的模型，稱為它的子模型。,apbcd(1)當(dāng) ，其它為 0 時(shí)，退化為 TV 模型，可稱為常量模型1?(2)當(dāng) ，其它為 0 時(shí)，為一般情況下的 CDD 模型，可稱為冪曲率模型。,(3)當(dāng) ，其它為 0 時(shí)，稱為指數(shù)曲率模型。1?b(4)當(dāng) ，其它為 0 時(shí)，稱為對(duì)數(shù)曲率模型c(5)當(dāng) 時(shí),稱為綜合模型。03/1,/,3/ ?dcbpa 離 散 型 模 型 為了計(jì)算方便，需要將上述模型離散化，繼而提出離散化模型。將連續(xù)的PDE 離散化后,用數(shù)字迭代方法便可產(chǎn)生相應(yīng)的數(shù)字濾波器。本文參照文獻(xiàn) [ 16,27]，采用半點(diǎn)差分方法,所謂半點(diǎn)差分格式方法，是考慮待修補(bǔ)像素點(diǎn)八鄰域的梯度求解算法。江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）29 如下圖 所示， 為待修復(fù)像素點(diǎn)， 為 的四個(gè)鄰域O??EWSNO,??點(diǎn)集合， 為四個(gè)半像素鄰域點(diǎn)。??ewsn,?? 圖 待修復(fù)像素點(diǎn)和鄰域令 ，對(duì)散度進(jìn)行中心差分?jǐn)?shù)值化，??Igv????21,，步長(zhǎng) 。為了避免 為 0，取hyxsnwe2121 ???????? 1?I?，或者 。進(jìn)一步給出 的近似計(jì)算：2II??II???21,snwe? ???????? ????????????????????2221 4SNSENOEe Oeeee IIIhI hgxg????? ????????? ?????????????????????2221 4SNSWNOWw OwwIIIhI hgxg????? ????????? ?????????????????????2222 41WENEONn Onn IIIhI hgxg????? ????????? ?????????????????????2222 41WESEOSs OSssss IIIhI hgxg????? ?江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）30為得到上面各表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果，所以還需計(jì)算出上式中的。 當(dāng) 時(shí)，就得出了 的計(jì)算公式。????snwegg??, ??1??????????I?如果已知 的表達(dá)式，就可得出 的值。表面上目標(biāo)像素點(diǎn) 的修復(fù)值只? ?gO與其鄰域內(nèi)的 像素點(diǎn)有關(guān)，圖中未標(biāo)注出半像素點(diǎn)，如下圖 所示：3?圖 像素 O 的 鄰域3?事實(shí)上，需計(jì)算 的值， 為 中的半像素點(diǎn)，同樣地可采用差分法計(jì)算。設(shè)q??， 。下面給出 的計(jì)算??2121,qqqII?????????? yxIqq???????????21??e?公式。展開(kāi)，但若在 鄰域內(nèi)無(wú)法計(jì)hhyx eSNeSENeOEee 422121 ??? ????? 3?算 ，所以可考慮 鄰域，如圖 和圖 所示：1eE5?. . O5 O4 O3. NW N NE O2. W O E O1. SW S SE O16. . . . . 圖 像素 O 的 鄰域5?NW N NEW O ESW S SE江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）31 圖 鄰域及其半像素點(diǎn)5?則 , ,????????????????????????????221111hIhIIxSENOE OEe????????????????????????????2211hIIIxSNWEWEOOe?,同理可求出 。????????????????????????????222 42 4hIhIIyEONONEEe? 22,eSNeSE?所以 ()?? ????OQqQsnwe IIghyxIg O?????????????????? ???,2121 ??????其中 表示，當(dāng) 為 中像素點(diǎn)時(shí)，則 為 中對(duì)應(yīng)的半像素點(diǎn)，如??qQO, QO取 時(shí)，相應(yīng)地 取 。將上式代入式()可得Ee ()????????QIgOQIgOI qQDqQDq 0, ??????????? ??? ????記 () ??????????qQDOqQDq OhhIg , ?????江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）32則上式可記為 ()????OIhQIOIqO0,?????上述表達(dá)式可以理解為待修復(fù)目標(biāo)像素值通過(guò)對(duì)鄰域點(diǎn) 進(jìn)行加權(quán) 修??QIQh復(fù)，由此它也可認(rèn)為是加權(quán)修復(fù)模型。 采用 GaussJacobi 迭代法，其中 表示迭代次數(shù)，上式可表達(dá)成n ()????OIhIOI nqQnO01,1??????其中 。1,????OqQhO 模 型 的 仿 真 在數(shù)值仿真時(shí)，通常先用掩碼確定待修復(fù)區(qū)域 ，然后根據(jù)待修補(bǔ)區(qū)域周D圍的信息，用修補(bǔ)算法自動(dòng)修復(fù)缺失的信息。根據(jù)公式()，改進(jìn)模型的半分圖像修補(bǔ)算法步驟如下：(1) 讀入圖像 和掩碼信息 ，給定 的值；IDI??,(2) 對(duì)掩碼中的每一個(gè)像素執(zhí)行(3)、(4)、(5)步，直到規(guī)定的迭代次數(shù)；(3) 若像素位于修復(fù)區(qū)域外，則 ，否則 ；?0?D(4) 根據(jù)公式()計(jì)算 ；OQqh,?(5) 根據(jù)公式()得到新的像素值，并保存到新圖像中。 下面仿真實(shí)驗(yàn)中， ， 。采用 MATLAB 進(jìn)行仿真，圖像的0??1.?一些基本處理參考文獻(xiàn) [28]。 實(shí)驗(yàn)一 各子模型特技制作視覺(jué)效果與評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)對(duì)比圖 圖 特技圖江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）33 將圖 中的鋼絲去掉，可以制作特技圖像。首先標(biāo)注要用掩碼標(biāo)注出鋼絲，如下表圖 A 所示，本文用純白色（255）標(biāo)注出來(lái)。若用非純白色的顏色填充，修復(fù)效果會(huì)更好，而且迭代次數(shù)夠多時(shí)，修復(fù)效果也好。 A 待修復(fù)圖像 B TV 修復(fù) C CDD 修復(fù)E 指數(shù)曲率模型修復(fù) F 對(duì)數(shù)曲率模型修復(fù) G 綜合模型修復(fù)圖 各模型修復(fù)視覺(jué)效果對(duì)比圖 圖 中的各子模型的修復(fù)圖，是在迭代次數(shù) N=60 下的修復(fù)效果。從中可知，對(duì)于修復(fù)面積較小時(shí)，TV 和對(duì)數(shù)曲率模型修復(fù)效果好。表 各子模型修復(fù)質(zhì)量評(píng)價(jià)測(cè)度 PSNR 與迭代次數(shù)數(shù)據(jù)表N=10 N=20 N=40 N=60 N=80 N=100常量曲率模型(TV) 冪曲率模型(CDD) 指數(shù)曲率模型 對(duì)數(shù)曲率模型 綜合曲率模型 由表 數(shù)據(jù)可知，在處理諸如劃痕這類小面積區(qū)域時(shí)，TV 的修復(fù)效果最好，接下來(lái)是對(duì)數(shù)曲率模型、冪函數(shù)曲率模型、綜合模型、指數(shù)曲率模型，由此可得出在圖像處理中較平滑、修復(fù)面積較小的區(qū)域， 的非遞減性沒(méi)有體???g現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)來(lái)，相反增長(zhǎng)越快的，修復(fù)效果越不好。江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）34 下圖是表 的圖像，其中39。紅色、綠色、藍(lán)色、天藍(lán)色、黃色39。*對(duì)應(yīng)著TV、CDD、指數(shù)、對(duì)數(shù)、綜合模型的 PSNR 值。 （由上而下對(duì)應(yīng) TV,對(duì)數(shù)曲率模型，CDD，綜合曲率模型，指數(shù)曲率模型）圖 各子模型修復(fù)質(zhì)量評(píng)價(jià)數(shù)據(jù) PSNR 與迭代次數(shù)曲線圖實(shí)驗(yàn)二 各子模型彩色圖像修復(fù)效果對(duì)比圖A 原彩色圖 B 待修復(fù)彩色圖 C 原彩色轉(zhuǎn)灰度圖D 待修復(fù)彩色轉(zhuǎn)灰度圖 E TV 修復(fù)圖 F CDD 修復(fù)圖江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）35G 指數(shù)曲率修復(fù)圖 H 對(duì)數(shù)曲率修復(fù)圖 K 綜合模型修復(fù)圖圖 此實(shí)驗(yàn)中待修復(fù)區(qū)域?yàn)椴噬珗D像 B 中面積稍大的紅色區(qū)域，顏色為[255 0 0]，修復(fù)迭代次數(shù) N=300。從該實(shí)驗(yàn)修復(fù)效果可知，各模型的修復(fù)效果逐漸顯露。指數(shù)曲率模型還有小部分較深黑區(qū)域未修復(fù)好?？芍?TV、對(duì)數(shù)曲率模型、CDD、綜合模型修復(fù)效果較好。實(shí)驗(yàn)三 各曲率修復(fù)模型圖像去噪實(shí)驗(yàn) 圖 下圖實(shí)驗(yàn)噪聲圖像所加的噪聲為脈沖噪聲，脈沖概率為 10%，迭代次數(shù)為2。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知， ，TV 去噪效果好，但會(huì)使圖像邊緣模糊化。其次是對(duì)數(shù)曲率模型，指數(shù)和綜合模型去噪效果雖不如 TV 模型，但保持圖像清晰。A 加噪圖像 B TV 去噪 C CDD 去噪江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）36D 指數(shù)曲率模型去噪 E 對(duì)數(shù)曲率模型去噪 F 綜合模型去噪圖 實(shí)驗(yàn)四 子模型 TV 模型圖像修復(fù)圖 熊貓圖去除劃痕 n=50,PSNR=. 通過(guò)實(shí)驗(yàn)，得出一組數(shù)據(jù){N=10,PSNR=。 N=25,PSNR=。 N=50,PSNR=。 N=75,PSNR=。 N=100 ,PSNR=}。下面給出圖 熊貓圖像修復(fù)迭代次數(shù)與峰值信噪比測(cè)度 PSNR 的關(guān)系圖。江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）37圖 迭代次數(shù)與 PSNR 的關(guān)系圖實(shí)驗(yàn)五 子模型對(duì)數(shù)曲率模型同時(shí)圖像修復(fù)和去噪 圖 熊貓圖同時(shí)去噪和去除劃痕 上圖實(shí)驗(yàn)為 N=40，中間的待修復(fù)圖像所加的脈沖噪聲，其脈沖概率為 3%。最后一幅圖像即為去除劃痕和噪聲后的圖像，其整體上比原圖像更清晰。江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）38實(shí)驗(yàn)六 子模型對(duì)數(shù)曲率模型文本去除實(shí)驗(yàn)圖 熊貓圖文本去除對(duì)灰度圖像 添加文字后的圖像（中間圖像） ，去除其中的文字，文字顏色值為 255，去除文本后的圖像，視覺(jué)上與原圖像很接近，除掉個(gè)別白點(diǎn)?？芍獙?duì)數(shù)曲率模型的文本去除效果好。 本 章 小 結(jié) 本章在第二章介紹的 TV 模型和 CDD 模型的基礎(chǔ)上，針對(duì)其優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，對(duì)TV 模型進(jìn)行改進(jìn)，給出了一個(gè)偏微分方程的連續(xù)型模型，當(dāng)模型中曲率函數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)取不同值時(shí)，可得出另外幾個(gè)子模型，包括 TV 模型、CDD 模型、指數(shù)曲率模型、對(duì)數(shù)曲率模型、綜合模型。為了實(shí)現(xiàn)方便，繼而提出了整體上的離散模型，離散化時(shí)考慮的區(qū)域是 區(qū)域。從而可以得出各個(gè)子模型對(duì)應(yīng)的離5?散模型，而且 TV 模型和 CDD 模型的離散模型與以往的 TV 和 CDD 離散模型不同，因?yàn)椴罘址椒ê筒罘謪^(qū)域不同。最后通過(guò) matlab 仿真，對(duì)一組圖片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可以得出該修復(fù)模型對(duì)于較小區(qū)域的圖像修復(fù)和去噪有很好的修復(fù)效果，子模型除了指數(shù)曲率模型外其他修復(fù)效果都很好。江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）39第 四 章 總 結(jié) 和 展 望本文主要研究了基于偏微分方程的各種經(jīng)典修復(fù)算法，在此基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)偏微分方程修復(fù)模型，此模型概括了 TV 模型和 CDD 模型，還可以得出指數(shù)曲率模型、對(duì)數(shù)曲率模型及其綜合模型，為了仿真方便，繼而提出了該偏微分方程的離散化模型，離散化時(shí)考慮到的鄰域是 鄰域，這異于以往的以目5?標(biāo)像素為中心的 鄰域。通過(guò) MATLAB 仿真，對(duì)幾幅圖片進(jìn)行修復(fù)、去噪，得3?出這些模型的修復(fù)效果。通過(guò)對(duì)比，可以得出 TV 模型和對(duì)數(shù)曲率模型、綜合模型的修復(fù)效果好，去噪效果也好，但 TV 模型在去噪的同時(shí)，也使圖像模糊化。 數(shù)字圖像修復(fù)算法可以歸為兩大類：PDE 的結(jié)構(gòu)算法和紋理合成算法，這些算法都有其優(yōu)點(diǎn)和缺陷。為了達(dá)到更好的圖像修復(fù)效果，并且可以充分利用PDE 算法的優(yōu)勢(shì)。在本論文結(jié)束之前，這里對(duì)以后可以研究探討的幾個(gè)方面做如下總結(jié)：江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）40（1）本文改進(jìn)的 TV 模型，主要是探討不同曲率函數(shù)擴(kuò)散系數(shù)對(duì)修復(fù)結(jié)果的影響，而且本文只是用來(lái)修復(fù)、去噪，事實(shí)上，可以探討該算法應(yīng)用在圖像壓縮和圖像增強(qiáng)和放大方面。（2）結(jié)合 BSCB 和 pLaplace 模型的優(yōu)勢(shì)，彌補(bǔ)雙方缺陷，建立兩者的混合模型。（3）PDE 算法大都是結(jié)構(gòu)算法，而沒(méi)有考慮紋理信息，可以把 PDE 算法和紋理結(jié)合，建立一個(gè)統(tǒng)一的模型，這樣可以修復(fù)面積較大區(qū)域的圖像。（4）PDE 算法屬于半自動(dòng)算法，即需要手動(dòng)選定修復(fù)區(qū)域，可以找出一個(gè)自動(dòng)區(qū)域選擇 PDE 算法。（5）自動(dòng)修復(fù)算法屬于盲環(huán)境摸索修復(fù)區(qū)域，而且修復(fù)問(wèn)題可以理解為將已有的信息來(lái)預(yù)測(cè)修復(fù)區(qū)域中的信息，可以考慮采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色預(yù)測(cè)、蟻群算法、時(shí)間序列等。參 考 文 獻(xiàn)[1] 王樹(shù)根, .測(cè)繪通報(bào),2022,12:2123。[2] Bertalmio M,Sapiro G,Caselles V,et al. Image inpainting//Proceedings