有限差分法求解偏微分方程-資料下載頁
2025-06-19 04:08本頁面
【正文】 方案，對(duì)五點(diǎn)差分公式中的節(jié)點(diǎn)所在的行做差分，然后把這些差分的加權(quán)作為中心點(diǎn)的差分值，則拉普拉斯算子可修正為：uxx=θui+1,j+12ui,j+1+ui1,j+1h2+12θui+1,j2ui,j+ui1,jh2+θui+1,j12ui,j1+ui1,j1h2（0≤θ≤1）利用式（34）進(jìn)行計(jì)算時(shí)，穩(wěn)定性沒有任何限制。θ取不同的值得到不同的差分公式，通常取θ=1/4.（35） 為了提高計(jì)算精度，很明顯的一個(gè)措施就是網(wǎng)格細(xì)分，但是由于隨著網(wǎng)格步長的減小，未知量的數(shù)目將會(huì)呈指數(shù)增長，網(wǎng)格劃分太細(xì)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過于龐大而無法計(jì)算。通常，我們可以通過提高逼近的精度，采用更高精度的差分公式，例如對(duì)公式（21）進(jìn)行修改，可得到九點(diǎn)差分公式：?2ui,j≈16h2ui+1,j+1+ui1,j+1+ui+1,j1+ui1,j1+4ui+1,j+4ui1,j+4ui,j1+4ui,j+120ui,j+O(h4)ui1,j+14ui1,jui1,j14ui+1,j20ui,j4ui1,j4ui,j+1ui1,j+1ui+1,j+1xi+1xixi1x1yj+1yj1yjy1ym圖5 九點(diǎn)差分公式3 有限差分法求解實(shí)例 根據(jù)上述推導(dǎo)有限差分法理論，對(duì)于不同類型的偏微分方程建立有限差分方程組，采用mat lab編程給出一些計(jì)算實(shí)例如下：1. 橢圓型方程n 拉普拉斯方程：?2u=0；求解域：R={x,y:0≤x≤,0≤y≤}下面分別給出拉普拉斯方程在不同的邊界條件下的解。a) 狄利克雷邊界條件：下邊界：ux,0=x4上邊界：ux,=+左邊界：u0,y=y4右邊界：,y=+圖6 狄利克雷邊界條件下拉普拉斯方程的解b) Neumann邊界條件： ?u(x,y)?N=0下邊界：ux,0=0上邊界：ux,=400左邊界：u0,y=0右邊界：,y=0圖7 Neumann邊界條件下拉普拉斯方程的解n 泊松方程：?2u=x2y2；求解域：R={x,y:0≤x≤2,0≤y≤2}.狄利克雷邊界條件：下邊界：ux,0=x4上邊界：ux,=+左邊界：u0,y=y4右邊界：,y=+圖8 狄利克雷邊界條件下泊松方程的解n 赫耳墨茲方程：?2u+(x+y)*u=x2y2；求解域：R={x,y:0≤x≤,0≤y≤}.狄利克雷邊界條件：下邊界：ux,0=x4上邊界：ux,=+左邊界：u0,y=y4右邊界：,y=+通過圖9與圖6的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，微分方程 的解與微分方程的具體形式關(guān)系不大，主要由求解域和邊界條件所決定。圖9 狄利克雷邊界條件下赫爾墨茲方程的解2. 雙曲方程：uttx,t=4uxxx,t；求解區(qū)域：R={x,y:0≤x≤1,0≤t≤1}.邊界條件：u0,t=0u1,t=0ux,0=fx=sinπx+sin2πxuttx,0=gx=0圖10 雙曲方程的解3. 拋物方程：utx,t=uxxx,t；求解區(qū)域：R={x,y:0≤x≤1,0≤t≤}.初值條件：ux,0=fx=sinπx+sin3πx邊界條件：u0,t=g1t=0u1,t=g2t=0圖11 拋物方程的解參考文獻(xiàn)1. John H. Mathews, Kurtis D. Fink. Numerical Methods Using MATLAB, Fourth Edition. BEIJING: Publishing House of Electronic Industry, 2. 孫志忠. 偏微分方程數(shù)值解法（第二版）.北京：科學(xué)出版社，20123. .
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