【正文】 最后將這些通解“組裝起 來”。 分離變數(shù)法小結(jié) [5] 分離變量法是將一個(gè)偏微分方程分解為兩個(gè)或多個(gè)只含一個(gè)變量的常微分方程。 取泊松方程的一個(gè)特解 v ，令 wvu ?? 。 泊松方程 泊松方程是數(shù)學(xué)中一個(gè)常見于靜電學(xué)、機(jī)械工程和理論物理的偏微分方程。 ? ? otlxtxfuau xxtt ??? ,0,2 ?? () ? ? ? ?? ? ? ? ,0,0, ,0,0, lxxxu lxxxut ?????? ?? () ? ? ? ? 0,0,0 ??? ttlutu . () 28 在 ()中求解齊次方程的相應(yīng)問題時(shí)，用分離變量法得到特征函數(shù)系? ?xlk?sin ，且將初始函數(shù) ? ? ? ?xx ?? , 展成傅立葉級(jí)數(shù)： ? ? ? ?? ? ? ? ??????????????????dlklxlkxdlklxlkxlkkkklkks i n2,s i ns i n2,s i n011 0??? ??????????? () 為求解非齊次問題 ()，將 ? ?txf , 也展開成傅立葉級(jí)數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ?? 1 0 s i n,2,s i n, k lkk dlktfltxfxlktftxf ????? () 且把 ? ?txu , 也寫成傅立葉級(jí)數(shù)形式 ? ? ? ?????? 1 s in, k k xlktutxu ? () 這里 t 視為參數(shù)，為確定未知的 ??tuk ，將 ()代入問題得到 ? ? ? ? ? ?? ? xlkxlkuxlktfxlktulkatukkkkkkkkk?????????????????????????????? ???11112222s i ns i n0s i ns i n () ? ? xlkxlkuk k kk ??? s i ns i n01 1? ???? ????? () 比較系數(shù)便知 ??tuk 滿足 ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????????????,2,1,0,0,0,2 222kuuttftulkatukkkkkkk??? () 即可。 如果 0?? ，則方程的解是 ? ? .s i nc o s 21 xCxCxX ?? ?? () 且 ?????.0c os,021 lCC ?? () 又 ? ? 0c os0 ,0,00 21 ?????????? lxX CC ?? () 在 0cos ?l? 的條件下， 2C 是任意常數(shù)。初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度，另一端溫度為 0u ，桿上溫度梯度均勻，零度的一端保持溫度不變，另一端跟外界絕熱。令 ，??????,2,1,c os)s i nc os(),(,22),( 000kxlktl akBtl akAtxutBAtxukkk???() 再聯(lián)系 ()方程及邊界條件和初值條件，為此作形式解 .c os)s i nc os(22),(),(1000xlktl akBtl akAtBAtxutxukkkkk??? ????????????? () 滿足初始條件，則要求 25 .c o s2)0,()(,c o s2)0,()(1010??????????????kktkkxlkBl akBxuxxlkAAxux????? () 取 ? ? ? ?xx ?? 及 在區(qū)間 ? ?l，0 上關(guān)于函數(shù)系 ? ?xlk?cos 的傅里葉系數(shù)，得 ? ?? ?? ? .,2,1,c o s2,2,2,1,0,c o s20000??????????kdlkakBdlBkdlklAlkllk?????????????? () 如果 ???x? ? ?? ?lC ,02 ， ? ?? ?lC ,01?? ， ? ? ? ?xx ?? ??? 及 在 ? ?l，0 上分段光滑， 且滿足前面的相容條件，即 ? ? ? ? ? ? ? ? .000 ???????? ll ???? () 則 ?.2,1,11,33???????????????? ?? kAkaBBk lA kkkk ?? () 其中 ? ?? ? ??????????dlklAdlklBlklkc o s2,s in200??????????? () 分別是 ? ? ? ?xx ?? ????? 及 的傅里葉系數(shù)。39。39。39。分離變量法還適用于其它類型邊界值問題，甚至是用于解其他類型方程的邊值問題。( ) ( )( 0 ) ( )00xxiXXXX?? ???????? () ⑴ ? ? 0 時(shí) , 22 () xxxX A e B e????? ? ? ? () 代入邊界條件得 0,0llA B A BA e B e????? ? ? ????? ? ? ??? () ∴得 A=B=0, 不符 ,舍去 . ⑵ ? ＞ 0 時(shí) ,令 ? = 2? , 得 () c os si nxX A x B x???? () 代入電解條件得 0s i n0 ?? lBA ?， ln??? (n=.........) () ∴ () sinx nX Bn xl?? (n=......) () 2. ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????????????????? lxtuUTalnTtxTtt00002222?? () 同理可求得其通解為 39。 39。( ) ( )2 xtu XTt? ?? 2 39。39。sin sinT T e gds??? ? ? ∵ 39。cos 1? ? 得 T=T39。39。MM 兩端的所受的張力記作 T,T39。 已指出端點(diǎn)引起波的反射 .這里研究的弦是有限長(zhǎng)的，它有兩個(gè)端點(diǎn)，波就在這兩端點(diǎn)之間往復(fù)反射 .我們知道，兩列反向行進(jìn)的同頻率的波形成駐波 .這就啟發(fā)我們嘗試從駐波出發(fā)解決問題 . 在駐波中，有些點(diǎn)振幅最大，叫作波腹 (圖 2一 1)。由此可見，一維波動(dòng)方程的初值問題是適定的。 因?yàn)闇y(cè)量不可能絕對(duì)精密，來自實(shí)際的定解條件難免帶有細(xì)微的誤差，如果解不是穩(wěn)定的，那么它很可能與實(shí)際情況不相符，沒有價(jià)值。 當(dāng) ? ? ? ?,2 RCx ?? ? ? ? ?RCx 1?? 時(shí)，達(dá)朗貝爾公式給出的解就是初值問題的古典解。 （ 2）達(dá)朗貝爾公式 例 、求無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)，其數(shù)學(xué)模型是一維波動(dòng)方程的初值問題。以 )(2 atxf ? 而論，該用以速度 a 沿 x 正方向移動(dòng)的坐標(biāo)軸 X ,則新舊坐標(biāo)系和時(shí)間之間的關(guān)系為 ??? ? ??tT atxX () 而 ),()( 22 Xfatxf ?? () 與時(shí)間 T 無關(guān)。分離變數(shù)法除適用于解波動(dòng)方程混合問題外，還可用于解其它類型方程的定解問題。本章首先介紹波動(dòng)方程的柯西問題解的表達(dá)式，證明解的存在性。特征平面 167。這種簡(jiǎn)化描述的合理性需要驗(yàn)證，研究問題的適應(yīng)性是重要的檢驗(yàn)方式。 (一 )定解問班解的存在性 :即研究在已知數(shù)據(jù)（偏傲分方程和定解條件中的已知函故）具有適當(dāng)光滑性 的前提下，定解問題的解是否存在。但 11 是，所提偏微分方程定解問題是否合理，定解條件是否足夠，也是我們必須重點(diǎn)考慮的。容易驗(yàn)證：當(dāng) ）（ zyx , 不是原點(diǎn)時(shí)， .0),( ?? zyxV 這便是 ??????? ),(,),( zyxzyxfuuuu zzyyxx () 稱為位勢(shì)方程的由來。此時(shí)不再有初始條件，而邊界條件變成以下三種 [3]： （ 1） 狄利克雷條件 .),(,),(),( ???? zyxzyxzyxu ? () 10 （ 2） 諾依曼條件 .),(,),(),( ?????? zyxzyxzyxnu ? () （ 3） 羅賓條件 .),(,),(),(),( ??????? zyxtzyxzyxuzyxnu ?? () 相應(yīng)的定解問題分別稱為狄利克雷、諾依曼、羅賓邊值問題。 167。設(shè)在點(diǎn) ? ?zyx , 處時(shí)刻 t時(shí)的物體的溫度為 ? ?zyxu , ，從物理定律出發(fā)，導(dǎo)出溫度場(chǎng) ? ?zyxu , 所要滿足的偏微分方程。 7 167。設(shè)在靜止?fàn)顟B(tài)膜占據(jù) xOy 平面上的區(qū)域 ? ，在外界影響下薄膜作微小振動(dòng)。如果現(xiàn)足夠長(zhǎng)，而且僅考察臨近初始時(shí)刻的較短時(shí)段內(nèi)震動(dòng)狀況，可以忽略邊界的影響。 （ 2） 弦的兩端自由滑動(dòng)，因此張力的垂直分量為 xTu? 為零，即要求 。這段弦所受的外力合力為 ?ba dxtxF ),( 慣性力為 .)( 22? ??ba dxtux? () 根據(jù)牛頓定律 ? ? 0)(),(),(),( 22 ?????? ? ? dxt uxdxtxFtautbuT ba baxx ?， () 即 0)(),( 2222 ??????? ???????ba dxtuxtxFxuT ? () 由區(qū)間 ? ?ba, 的任意性，知 u(x,t)滿足 ??),(),(,0,),(,),(222222txFtxfTatbaxtxfax ut u????????? ? () 這就是所謂的弦振動(dòng)方程。 在弦繃緊不振動(dòng)時(shí)，它是一根直線，就去這條直線為 x 軸。 設(shè)有一根均勻柔軟且有彈性的弦（一維彈性體），它的重量只有彈性的幾萬分之一?？墒窃诳嚲o以后，相鄰小段之間有拉力，這種拉力叫做弦中張力。其中，除桿的橫振動(dòng)方程以外，都是二階的。 可是，同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性，即個(gè)性 。 （請(qǐng)?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“√”） 作者簽名： 日期： 導(dǎo)師簽名： 日期： V 目 錄 摘要 ........................................................ 錯(cuò)誤 !未定義書簽。 作者簽名： 日期： 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書