畢業(yè)論文多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用-閱讀頁(yè)
2025-01-27 19:58本頁(yè)面
【正文】 ? 上 ( , )f xy 取得最小值， 最小值 ln( , l n ) l n l n 0xf x x e x x x x x? ? ? ? ?. 故在 D 上 ( , ) 0f x y ? ，即 ln 0ye x x x xy? ? ? ?. 物理學(xué)中光的折射定律證明 例 設(shè)定點(diǎn) A 和 B 位于以平面分開的不同光介質(zhì)中，從 A 點(diǎn)射出的光線折射后到達(dá) B 點(diǎn)，已知光在兩介質(zhì)中的傳播速度分別為 1v ， 2v ，求需時(shí)最短的傳播方式 . 解 設(shè) A 到平面的距離為 a ， B 到平面的距離為 b ，（如圖）， CD d? ，光線從 A 點(diǎn)射到 M 點(diǎn)所需時(shí)間為1cosav ? ， 12 光 線從 M 點(diǎn)射到 B 點(diǎn)所需時(shí)間為2cosbv ? 且 CM MD d??，即 tan tana b d???? 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)12( , ) c o s c o sabf vv?? ????在條件 tan tanbd????下的最小值 . 作拉格朗日函數(shù)112( , , ) ( ta n ta n )c o s c o sabL a b dvv? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? 令 112211222si n0,c os c ossi n0,c os c ost a n t a n 0.aaLvbbLvL a b d?????????????? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 由此解得1 12sin sinvv???? ? ?，即光線的入射角與折射角應(yīng)滿足： 12sinsin vv??? （光的折射定律）時(shí)光線傳播時(shí)間最短 . 生產(chǎn)銷售 在生產(chǎn)和銷售商品的過(guò)程中，銷售價(jià)格上漲將使廠家在單位商品上獲得的利潤(rùn)增加，但同時(shí)也使消費(fèi)者的購(gòu)買欲望下降，造成銷售量下降，導(dǎo)致廠家消減產(chǎn)量 .但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、成本與售價(jià)是相互影響 的 .廠家要選擇合理的銷售價(jià)格才能獲得最大利潤(rùn) . 用條件極值得出生產(chǎn)成本最小化方案 例 [10] 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品需要原料 A 和 B，它們的單價(jià)分別為 10 元、 15 元，用 x 單位原料 A 和 y 單位原料 B 可生產(chǎn) 2220 8x xy y? ? ? 單位的該產(chǎn)品，現(xiàn)要以最低成本生產(chǎn) 112 單位的該產(chǎn)品，問(wèn)需要多少原料A 和 B？ 【分析】由題意可知， 成本函數(shù) ( , ) 10 15C x y x y??. 該問(wèn)題是求成本函數(shù)在條件 2220 8 11 2x xy y? ? ? ?下的條件極值問(wèn)題， 利用拉格朗日常數(shù)法計(jì)算 . 解 令 22( , ) 10 15 ( 20 8 112 ) ,F x y x y x x y y?? ? ? ? ? ? ? 13 解方程組 221 0 2 2 0 01 5 1 6 2 0 02 0 8 1 1 2 0f xyxf yxyx x y y?????? ? ? ? ?? ???? ? ? ? ?? ???? ? ? ? ??? 2 , 2( ) 4 ,y y x? ? ? ? ? ?舍 去 這是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，所以當(dāng)原料 A 和 B 的用量分別為 4 單位， 2 單位時(shí)，成本最低 . 利用條件極值得出利潤(rùn)最大化方案 例 [10] 為銷售產(chǎn)品作兩種方式廣告宣傳，當(dāng)宣傳費(fèi)分別為 ,xy時(shí)，銷售量是 20 0 10 05 10xyS ????，若銷售產(chǎn)品所得利潤(rùn)是銷量的 15 減去廣告費(fèi)，現(xiàn)要使用廣告費(fèi) 25 萬(wàn)元，應(yīng)如何分配使廣告產(chǎn)生的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？ 解 依題意，利潤(rùn)函數(shù)為 1 4 0 2 02 5 2 55 5 1 0xyS? ? ? ? ? ??? 且 25xy?? 設(shè) 4 0 2 0 2 5 ( 2 5 )5 1 0xyF x y?? ? ? ? ? ??? 令 222000(5 )2000(10 )25xyxFyxy??? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ??? ???? 得 1510xy?????????? 依題設(shè)，存在最大利潤(rùn)，又駐點(diǎn)唯一，因此兩廣告分別投入 15 萬(wàn)元和 10 萬(wàn)元利潤(rùn)最大 . 例 [3] 一家電視機(jī)廠在對(duì)某種型號(hào)電視機(jī)的銷售價(jià)格決策時(shí)面對(duì)如下數(shù)據(jù)： （ 1）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)?shù)貙?duì)該種電視機(jī)的年需求量為 100 萬(wàn)臺(tái)； （ 2）去年該廠共售出 10 萬(wàn)臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為 4000 元； （ 3）僅生產(chǎn) 1 臺(tái)電視機(jī)的成本為 4000 元；但在批量生產(chǎn)后，生產(chǎn) 1 萬(wàn)臺(tái)時(shí)成本降低為每臺(tái) 3000 元 . 問(wèn)：在生產(chǎn)方式不變的情況下，每年的最優(yōu)銷售價(jià)格是多少？ 14 數(shù)學(xué)模型建立如下： 設(shè)這種電視機(jī)的總銷售量為 x ，每臺(tái)生產(chǎn)成本為 c ，銷售價(jià)格為 v ， 那么廠家的利潤(rùn)為 ( , , ) ( )u c v x v c x?? 根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè) ，銷售量與銷售價(jià)格之間有下面的關(guān)系： , 0 , 0 ,avx M e M ??? ? ? 這里 M 為市場(chǎng)的最大需求量， ? 是價(jià)格系數(shù)（這個(gè)公式也反映出，售價(jià)越高，銷售量越少） .同時(shí)，生產(chǎn)部門對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的成本有如下測(cè)算： 00ln , , , 0 ,c c k x c k x? ? ? 這里 0c 是只生產(chǎn) 1 臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本， k 是規(guī)模系數(shù)（這也反映出，產(chǎn)量越大即銷售量越大，成本越低） .于是，問(wèn)題化為求利潤(rùn)函數(shù) ( , , ) ( )u c v x v c x?? 在約束條件 0 lnavx Mec c k x?? ????? 下的極值問(wèn)題 . 作 Lagrange 函數(shù) 0( , , , , ) ( ) ( ) ( l n ) ,avL c v x v c x x M e c c k x? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 就得到最優(yōu)化條件 00 , (1 )0 , ( 2)0 , ( 3 )0 , ( 4)ln 0.(5 )cavvxavLxL x M ekL v cxx Mec c k x???????? ? ? ???? ? ????? ? ? ? ???? ???? ? ??? 由方程組中第二和第四式得到 =1?? ，即 1=?? 將第四式代入第五式得到 0 (ln )c c k M v?? ? ? 再由第一式知 x??? . 將所得的這三個(gè)式子代入方程組中第三式，得到 0 1( ( l n ) ) 0 ,v c k M v k? ?? ? ? ? ? ? 15 由此解得最優(yōu)價(jià) 格為 0* 1ln1c k M kv k ??? ? ?
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