【正文】 2)( 2 xxxf ?? 例 已知 0)1( ?f ， 1)2( ?f 解函數方程 )()1(2)2( nfnfnf ???? 解： 由題意可知 )()1()1()2( nfnfnfnf ?????? 所以 )2()1()1()( ?????? kfkfkfkf )3()2()2()1( ??????? kfkfkfkf ? ? ? ? )1()2()2()3( ffff ??? 累加得 1)1()( ??? kfkf 所以 1)1()( ??? nfnf 1)2()1( ???? nfnf ? ? ? 1)1()2( ?? ff 累加得 1)1()( ??? nfnf 所以 1)( ??nnf 換元法 函數的“自變量”或某個關系式去用一個新的變量（中間 變量）去替換，這樣的方法稱之為換元法，具體的步驟是，以確定所述中間變量的函數之間的關系，以及由此得到的函數式是用于解決函數方程的基本方法之一。 解：由題意可知 根據已知條件知道方程的結構，那么我們先找到的解 xaxf ?)( ，其中一個是被確定的一個常數。 軌道的設計、電腦數字的運用、住房材 料的精確設計、小到平時生活中開銷計算，大到一座高樓大廈的細枝末節(jié)，無一不予我們的方程式息息相關，而這些都離不開方程的解和解方程式，只在于，方程式的重要性！ 而且為了更好的讓人們去運用這些方程式，各國的數學家發(fā)明了很多的方法來解方程式，譬如：待定系數法、換元法、數學歸納法、反證法、不動點法諸如此類等等解法。s method Key words: Function equation, Assignment method, Mathematical induction, Cauchy method, Solution 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 6 前言 數學素來是一門很有知識的學問。本人在論文寫作中參考的其他個人或集體的研究成果，均在文中以明確方式標明。 其通解（此方程是達朗貝爾于 1769 年論證力的合成法則時導出的）這種方法被后人稱為柯西方法。不僅在一定程度上豐富了方程式的范圍，同樣也極大的增加了我們的學習空間。 在函數方程的解法之中用待定系數法求方程的解主要將其運用于函數的類型以及很熟的某些特征，因為此是最簡單的方法。 設 )(xf 是定義在自然數集 N上的函數， af ?)1( (確定常數 )，如果存在一個遞歸（或遞推）關系 S，當知道了前面 k 項的值 )1( ?nf ， ....,3,2,1 kt ? 由 S可唯一確定 )1( ??knf的值，那么稱 )(nf 為 k 階遞歸函數。換元法的好處便是在于使式子得到簡化，從而使得各項關系在容易明了的基礎上，使得問題在一定程度上更好的得到解決。 解方程組法 方程的解是變量的函數方程（或關系）適當的變量代換（有時需要幾個替代） ,得到一個（或者幾個）新的函數方程，然后再與原來的方程聯(lián)立，解方程組中的未知函數 )(xf ，那么我們就可以得出所求的函數方程的解。 解：由題意可知 假設 012 ???? xxax有負數根 0x ，而 10 ??x 因為 0)( 0 ?xf 又 101 201)0( ??????f 知 )0()( 0 fxf ? 而函數 )(xf 在 ),1( ??? 是增函數 所以 00?x 這個與假設 0x 為負數根相矛盾 所以 這個假設不成立 所以 方程 012 ???? xxax 沒有負數根 我們利用反證法，創(chuàng)造題目矛盾的條件，然后得出我們所想要的答案。 柯西法 柯西方法是一種“爬坡式”的推理方法，也就是說首先求出自變量取自然數時，函數方程的解，然后我們依次讓自變量取一切自然數、整數、有理數，最后取一切實數值時，如果這個方程都成立，那么它就是函數方程的解。 參數法 如果函數的未知數比較多的話，我們?yōu)榱饲蠼夂啽?，有時我們可以在此基礎上增設一些參數（也叫輔助未知數），以便更好地去溝通數量關系，這樣的方法叫做設參數法； 我們運用參數法去解函數方程時，它的基本步驟為：引入參數，消去參數，再求解； 例 已知 xxf 2s in5)c o s2( ??? ，求 )(xf 解：由題意可知我們設所求函數 )(xfy? 的參數表達式為： ??? ?? ?? ty tx2sin5cos2 所以 ??? ?? ?? xt yt 2cos 5sin 2 所以 22 )2(cos xt ?? 所以 15)2(s i nc o s 222 ?????? yxtt 即 842 ??? xxy ， 即 84)( 2 ??? xxxf ， ]3,1[?x 在利用參數法解函數關系式的時候，一定要先引入參數，然后通過轉換去消去已有的參數，再求得函數解析式。 構造法 構造法是創(chuàng)造性的數學思維，它與方法的結構來解決問題，是反映構造法的精髓，是指導構造法的靈魂，構造法是使用方法的具體手段，實施這一方法，它全面滲透納悶，抽象，概括和歸納，類比等重要的數學方法。 解：由題意可知 21)1( ??f 又 ]1)([22)(21)1( ?????? xfxfxf 所以 21)( 1)1( ????xfxf 這個可以構造出是首相為 2 公比為 2的等比數列 所以 xxf 21)( ?? 所以 12)( ?? xxf 我們在利用構造法去解方程的時候，應該要想到用什么模型去構造，應該對數學知識有一定的掌握。 函數迭代法 如果 )()**1 (l i ml i m xxnx xnnn ?? ??? ?????,稱 nx 為第 n次近似值，這樣我們稱為函數迭代。從而使這個復雜的函數關系式得到解決。這將非常有利于我今后的學習和 工作。 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 1 3 結束語 函數方程的研究對我們的社會生活越來越重要，函數方程解法的研究能夠解決我們的一些實際生活問題。實際上就是數列 ? ?)(nf （ n =1， 2,3， ? ）的通項。 定義法 定義法就是把所給函 數的解析式，然后我們通過配方、拼湊等一系列方法使它變形為關于“原象 ” (或“自變量” )的表達式，然后我們用 x代替“自變量”我們即得到的函數 )(xf 的表達式。建設思想的核心是根據問題的設置條件，適當建設的新形式，與已知條件，材料，結論問路，構建數學的一個新形式的特點，問題就容易解決。 賦值法 在解 方程 時， 我們可以通過 運用邏輯推理方法 慢慢的去 尋求 需要找的 條件， 然后再找出 結論， 是一個很常見的解方程的方法 。用柯西法時應限制解的性質是連續(xù)的。使這些難題很容易的就能解答出來。 解 :由題意可知 令 x1 換 x 得 2)ln)(1(21ln)1()( ????? xxfxxfxf 聯(lián)立方程組????????????2ln)()1(2)ln)(1()(xxfxfxxfxf 消去 )1(xf 得 ? ? 2)ln(2ln)()( ???? xxxfxf ? ? 4ln2)2ln(ln1)( ?????? xxxxf 所以 2)1(ln 4ln2)( ? ??? x xxf， )0( ?x 解方程組法也是我們解函數方程的重要方法之一，先利用換元法得到我們想要的方程組，然后通過解方程組的方法消去我們不需要的項，然后解出函數方程。 數學歸納法 數學歸納法是數學的重要方法之一，應用范圍相當廣泛，所以解決了函數方程也同樣有效，當上了自然數集合 n定義用于未知函數。 例如： 自然數平方數列 21 ， 2 ， 23 ， ...， 2n ， ? ， , 他的通項公式： 2)( nnf ?