【正文】 變量取自然數(shù)時(shí)，函數(shù)方程的解，然后我們依次讓自變量取一切自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)，最后取一切實(shí)數(shù)值時(shí)，如果這個(gè)方程都成立，那么它就是函數(shù)方程的解。 例 已知數(shù)列 ??na 滿足首項(xiàng) 21?a ，1621 ???? nnn aaa 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式。如果用圖像的話來說，不動(dòng)點(diǎn)就是意味著函數(shù)與直線有公共點(diǎn)且這個(gè)公共點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)。使這些難題很容易的就能解答出來。 解：由題意可知 假設(shè) 012 ???? xxax有負(fù)數(shù)根 0x ，而 10 ??x 因?yàn)? 0)( 0 ?xf 又 101 201)0( ??????f 知 )0()( 0 fxf ? 而函數(shù) )(xf 在 ),1( ??? 是增函數(shù) 所以 00?x 這個(gè)與假設(shè) 0x 為負(fù)數(shù)根相矛盾 所以 這個(gè)假設(shè)不成立 所以 方程 012 ???? xxax 沒有負(fù)數(shù)根 我們利用反證法，創(chuàng)造題目矛盾的條件，然后得出我們所想要的答案。 （ 3）我們?cè)儆擅芘袛嗉僭O(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。 步驟 :(1)假設(shè)一個(gè)命題的結(jié)論是假的，也 就是說假設(shè)結(jié)論的反面成立。 解 :由題意可知 令 x1 換 x 得 2)ln)(1(21ln)1()( ????? xxfxxfxf 聯(lián)立方程組????????????2ln)()1(2)ln)(1()(xxfxfxxfxf 消去 )1(xf 得 ? ? 2)ln(2ln)()( ???? xxxfxf ? ? 4ln2)2ln(ln1)( ?????? xxxxf 所以 2)1(ln 4ln2)( ? ??? x xxf， )0( ?x 解方程組法也是我們解函數(shù)方程的重要方法之一，先利用換元法得到我們想要的方程組，然后通過解方程組的方法消去我們不需要的項(xiàng)，然后解出函數(shù)方程。 解方程組法 方程的解是變量的函數(shù)方程（或關(guān)系）適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q（有時(shí)需要幾個(gè)替代） ,得到一個(gè)（或者幾個(gè)）新的函數(shù)方程，然后再與原來的方程聯(lián)立，解方程組中的未知函數(shù) )(xf ，那么我們就可以得出所求的函數(shù)方程的解。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 13 解：由 xf cos)1( ? 可知 )1( s i nc o ss i n)1(c o s)2( ???? xxxfxf )s ins in1(c o s)3( 2 xxxf ??? )s i ns i ns i n1(c o s)4( 32 xxxxf ???? ?????????? 所以從上面的式子中我們可以猜想得 xxxxxxxnf nn s i n1 s i n1c oss i ns i ns i n1(c os)( 12 ???????? ?? 我們可以用數(shù)學(xué)歸納的方法去證明上面的猜想 （ 1） 當(dāng) 1?n 時(shí) xf cos)1( ? 猜想成立 （ 2） 假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)猜想成立，即 xxxkf ksin1 sin1c os)( ??? 成立 當(dāng) 1??kn 時(shí)，得 xkfxkf s in)(c o s)1( ??? xxxxx ks in1 s in1s inc osc os ???? x xx ksin1 )sin1(c os 1??? ?， 所以由上面的條件可以知道，當(dāng) kn? 時(shí)等式成立，則當(dāng) 1??kn 時(shí)也成立 綜上所述得： xxxnf nsin1 sin1c os)( ??? 例 已知函數(shù) 12)( ?? nnf ， 當(dāng) 1?n 時(shí)， 3)( ?ng 。 （ 2） （遞推）假設(shè) )(rT 成立，若 )1( ?rT 成立，則 )(nT 對(duì)所有的自然數(shù)都會(huì)成立的。 數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)的重要方法之一，應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，所以解決了函數(shù)方程也同樣有效，當(dāng)上了自然數(shù)集合 n定義用于未知函數(shù)。換元法的好處便是在于使式子得到簡(jiǎn)化，從而使得各項(xiàng)關(guān)系在容易明了的基礎(chǔ)上，使得問題在一定程度上更好的得到解決。 解：不妨設(shè) xxt 1?? ，則有 tx ??11 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 12 所以 ? ?ttttf ?????? 1211 1 所以 ? ?xxxf ??? 12 故 ? ? ? ?xxxxxxxf 1111 )1(21 ??????? ???? 例 已知 ? ? xxf x cos3 3 ?? ，求 ??xf 。函數(shù)方程的適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，新的方程，從而得到方程的解。 例如： 自然數(shù)平方數(shù)列 21 ， 2 ， 23 ， ...， 2n ， ? ， , 他的通項(xiàng)公式： 2)( nnf ? 遞推公式 : 12)()1( ???? nnfnf 遞歸公式： )()1(3)2(3)3( nfnfnfnf ?????? 值得注意的是（ 1）、遞推、遞歸公式均是函數(shù)方程，而通項(xiàng)公式則是他們的解 （ 2）、遞歸公式（在數(shù)列一節(jié)中詳細(xì)講）一般形式是 nk aknfknfknf ??? ????????? . ..)2()1()( 21 （ 3）、通項(xiàng)公式一定由數(shù)列唯一確定，但遞歸、遞推不同，需給出第 k 項(xiàng)的值（初始條件） ,不同初始條件，數(shù)列不同。 設(shè) )(xf 是定義在自然數(shù)集 N上的函數(shù)， af ?)1( (確定常數(shù) )，如果存在一個(gè)遞歸（或遞推）關(guān)系 S，當(dāng)知道了前面 k 項(xiàng)的值 )1( ?nf ， ....,3,2,1 kt ? 由 S可唯一確定 )1( ??knf的值，那么稱 )(nf 為 k 階遞歸函數(shù)。然而 遞推法對(duì)于實(shí)數(shù)集上的函數(shù)方程未必適用。 所以 )(4)(3)(2 xfxafxfa ?? . 0)()43( 2 ??? xfaa . 而 0)( ?xf 所以 0432 ??? aa ，解得 11 ??a ， 42?a . 再設(shè)原方程的解為 xxxx BABaAaxf 4*)1(*)( 21 ????? （其中 A,， B是常數(shù)） 又由 0)( ?xf ， 1)0( ?f ， 9)1( ?f 得 ??? ??? ?? 94 1BABA 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 9 所以 ??? ???21BA 所以 xxxf 42)1()1()( ?????? . 我們根據(jù)函數(shù)的某些特征設(shè)出函數(shù)的關(guān)系式，然后通過已知條件求解出函數(shù)解析式。 解： 由題意可設(shè)： cbxaxxf ??? 2)( 則 )()2()1( 2 cbaxbaaxxf ??????? 則 )33()6()(2)1(3 2 cbaxbaaxxfxf ???????? 所以 12)33()6( 22 ???????? xxcbaxbaax ????????????133162cbabaa 得 ?????????34132cba 所以 34132)( 2 ??? xxxf 例 已知函數(shù)方程 )(xf 是多項(xiàng)函數(shù)，且滿足 642)1()2( 2 ?????? xxxfxf ，池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 8 求 )(xf 解：由題意可知 )(xf 是多項(xiàng)式 而 )2( ?xf ， )1( ?xf 不改變函數(shù)的最高次項(xiàng) 所以 )(xf 必為二次函數(shù) 則設(shè) cbxaxxf ??? 2)( 而 )24()4()2( 2 cbaxbaaxxf ??????? )92)1( 2 cbabxaxaxxf ??????? 所以 )25()22(2)1()2( 2 cbaxbaaxxfxf ????????? 又 得 ???????????62542222cbabaa 解得 ????????011cba 所以 xxxf ?? 2)( 例 已知對(duì)任意的 Rx? ，函數(shù)方程滿足 )(4)1(3)2( xfxfxf ???? 且0)( ?xf ， 1)0( ?f ， 9)1( ?f ，那么求出函數(shù)方程的解。 在函數(shù)方程的解法之中用待定系數(shù)法求方程的解主要將其運(yùn)用于函數(shù)的類型以及很熟的某些特征，因?yàn)榇耸亲詈?jiǎn)單的方法。解決這些問題是有一定的困難，這些困難與泛函方程本身，因?yàn)榕R時(shí)性途徑的探索，解決不完全泛函方程，大量的函數(shù)方程尚未解決，這是解決了大部分所需的函數(shù)方程的方法求解數(shù)學(xué)可以用初等方法函數(shù)方程是不多了，這里先介紹函數(shù)方程的性質(zhì) ,然后介紹用初等方法解函數(shù)方程的方法 本篇論文的終點(diǎn)也是重點(diǎn)闡述：第一，何為方程式，第二，方程式的具體解法，并對(duì)于每種 解法賦予案列介紹，以便各種可以更加清楚明了的了解方程式。不同的方程式適應(yīng)于不同的解法，總是會(huì)有一種解法更加的適合，同樣會(huì)有一種解法更加的簡(jiǎn)單，而我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中主要的任務(wù)，便是如何的將這些解方程式的方法游刃有余的運(yùn)用于我們的各種的方程式之中，以至于我們可以更好 、更快、用最合適的方法去解方程式。 方程式的解關(guān)鍵詞語便是在于一個(gè)“解”字，然而解方程式眼面前兒看著卻是指一個(gè)動(dòng)作，是去解一個(gè)方程，那么基于此處解方程式又有何樣優(yōu)點(diǎn)呢？其實(shí)很簡(jiǎn)單，因?yàn)橹挥畜w會(huì)，才可明了方程式在實(shí)際生活中運(yùn)用到底起到了什么作用。不僅在一定程度上豐富了方程式的范圍，同樣也極大的增加了我們的學(xué)習(xí)空間。 方程式的解在很大程度上豐富了數(shù)學(xué)領(lǐng)域并激發(fā)了一種境界，方程式的解從古至今一直都未被突破，相反，反而卻以一種神秘的面貌出現(xiàn)在大家的面前。之所以知識(shí)是因?yàn)?，自古就有這樣的一句話 ——學(xué)習(xí)科學(xué)，無處不在！數(shù)學(xué)一直都是遙遙的處于翹首之位。 In the same year, another mathematician of Laplace the monge method is extended to a large variety of the function equation of the above. Functional equations: ? ? )()(2)( yfxfyxfyxf ???? cauchy and also in 1721 by mathematics. Its general solution (the equation is d’ Alembert demonstrated in 1769 when the force resultants of the exported) this approach is known as the cauchy39。 其通解（此方程是達(dá)朗貝爾于 1769 年論證力的合成法則時(shí)導(dǎo)出的）這種方法被后人稱為柯西方法。 在研究“曲面論”問題的基礎(chǔ)上，必須去解讀一些函數(shù)方程，于此法國著名數(shù)學(xué)家蒙日便于 1773 年運(yùn)用智慧將這些函數(shù)方程化為“有限差方程”進(jìn)行處理，同年在數(shù)學(xué)界另一位數(shù)學(xué)家拉普拉斯便利用蒙日