【正文】 J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 20xx， 14(1)： 916． [7] 戚懿．廣義復(fù)合 Poisson 模型下的破產(chǎn)概率 [J]．應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)， 1999， 15(2)：141146． [8] ．風(fēng)險(xiǎn) 理論 [M]．上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社， 1995： 2581． [9] 鄒輝 ,朱勇華 .保險(xiǎn)精算中的一個(gè)破產(chǎn)模型的改進(jìn) [J].武漢水利電力大學(xué)學(xué)報(bào) (社會(huì)科學(xué)版 ),20xx,20(2):3335. [10] 張琳 .保險(xiǎn)公司崩潰模型研究 [J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) ,1997,14(1):8588. [11] 孫立娟，顧嵐．保險(xiǎn)公司破產(chǎn)概率的估計(jì)及隨機(jī)模擬 [J]．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐， 20xx， 7： 6368． [12] 鄧永錄，梁之舜．隨機(jī)點(diǎn)過(guò)程及其應(yīng)用 [M]．北京：科學(xué)出版社， 1992：1441． 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 20 頁(yè) 共 23 頁(yè) 致謝 感謝趙曉芹老師對(duì)我的悉心指導(dǎo)，她對(duì)我的指導(dǎo)過(guò)程嚴(yán)格而又耐心，她的知識(shí)十分淵博，特別是在概率論方面；她的講解通俗易懂，我獲益良多；她的平易近人，拉近了老師與學(xué)生之間的距離，我深感師恩可貴；她的做學(xué)問(wèn)的態(tài)度十分嚴(yán)謹(jǐn)，我深感佩服。對(duì)于經(jīng)營(yíng) n 個(gè)險(xiǎn)種的保險(xiǎn)公司 ,整個(gè)公司的償付能力與 n 個(gè)險(xiǎn)種都有關(guān)系 ,險(xiǎn)種在經(jīng)營(yíng)過(guò)程中是相互“分散 ” 風(fēng)險(xiǎn)的 ,整個(gè)公司的安全性自然也就不會(huì)低于只經(jīng)營(yíng)某個(gè)單險(xiǎn)種的安全性。 證畢。 即 ( ) 1Dr= ，因此 1RR179。 不妨假設(shè) 12RR 當(dāng) 10 rR? 時(shí) , ( ) ( )12, 0 , , 0g r t g r t? 因 ()iBt均為連續(xù)非減函數(shù)，且當(dāng) t?? 時(shí)， ( ) ( 1, 2)iB t i? ? ? ，故 ( ) ( )20 1s u p e x p , 1iit i B t g r t179。 ⅱ= + 182。= +犏臌182。 由 ()1Bt函數(shù)的性質(zhì)知 ,相應(yīng)于第一個(gè)險(xiǎn)種的 Lundberg 指數(shù) ( ){ }11su p , 0 , 0tR r g r t t對(duì) 于 任 意 給 定 的= ３ ? ?11m in , 0tR R t??對(duì) 所 有 同理相應(yīng)于第二個(gè)險(xiǎn)種的 Lundberg 指數(shù) ( ){ }22su p , 0 , 0tR r g r t t對(duì) 于 任 意 給 定 的= ３ ? ?22m in , 0tR R t??對(duì) 所 有 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 17 頁(yè) 共 23 頁(yè) 顯然 ： ( )0, 0igt= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00, ir c ti r i i i rg r t v t c t e h rr ==182。 且最終破產(chǎn)概率 ( ) ( ) ( )11 ,1 0su p B t g r tru tu e ey 179。 定理 令 ( ){ }su p , 0 , 0iiR r g r t t對(duì) 于 所 有= ３, ( )12i= 則 { }12min ,R R R179。 因此最終破產(chǎn)概率 ( ) ( )Ruu e D Ry 163。 定義 令 ( ){ }supR r D r= ?, 其中 ()Dr由 (35)給出 ,稱 R 為盈余過(guò)程 (31)的 Lundberg 指數(shù)。 =輊犏= 犏臌229。 睚镲镲鉿 229。 最終破產(chǎn)概率的一個(gè)上界 在 (33)式中令 t ,取極限得 ( ) ( ) ( )20 1s u p e x p ,ru iit iu e B t g r ty179。 時(shí) , ( )2hr=? 故 ( ) ( ) ( ) ( )( )20 1, su p e x p 1 1i irc sru iist i iru t e B s v s ermym ＃ =禳 輊镲镲镲 犏?+睚 犏镲 犏镲 臌镲鉿 229。 同理 ,當(dāng)21r m 時(shí) , ( ) 2221rhr rmm= 。 當(dāng) 11r m179。= = 242。 式中 r 滿足12110 m in ,r mm禳镲镲 睚镲镲鉿。 依據(jù)有限時(shí)間破產(chǎn)概率的上界估計(jì)式 ,保險(xiǎn)公司可以根據(jù) 以往的歷史資料 ,選擇制定適當(dāng)?shù)碾U(xiǎn)種和合理的保費(fèi) ,預(yù)留必要的初始準(zhǔn)備金 ,以使得有限時(shí)間破產(chǎn)概率 (比最終破產(chǎn)概率更接近實(shí)際的每一時(shí)期的破產(chǎn)概率 )達(dá)到預(yù)想小的程度。 睚镲镲鉿 229。由定理 得 ( ) ( ) ( ) ( )0ru u u u u u u ue M E M t T E M T T t P T t 輊輊== 儷＃臌臌 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 15 頁(yè) 共 23 頁(yè) 由于當(dāng) uT? 時(shí) ( ) 0uu R T+?,故 ( ) ( )( ), ruu u u ueu t P T t E M T T ty = ＃ 輊 163。故由 (32)知 , ( ) ( )( ){ }e x pE r R t R s輊 ?犏臌 .又由定理 知 ()uMt是 RF 鞅 .選取 t? ,則 utT217。 (33) 式中 r 滿足 ( ) ( )0 , 1 , 2kr h r k ?。 定理 對(duì)于任意的 t ,有 ( ) ( ) ( )20 1, s u p e x p ,ru iist iu t e B s g r sy＃ =輊犏163。g F( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )21e xpe xp , ,ui i i iir R t R sM s EB t g r t B s g r s=輊犏輊犏 犏臌犏= 犏 禳镲镲犏 輊 睚臌犏 镲镲鉿臌 229。 證 對(duì)于任意 st163。 具有獨(dú)立增量性 ,有 ( ) ( ) RsE R t ER t輊輊 犏臌臌 F ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }RsE R t R s E R t R s R s E R s輊= + 犏臌 F 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 14 頁(yè) 共 23 頁(yè) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )R s E R s E R t R s E R t R s輊= + 犏臌 ( ) ( )R s ER s= 證畢。 ,由過(guò)程 ( ){ }。 0 ,RRtFt=?F 其中 1 2 1 2M M N NRt t t t t= 譖 ?F F F F F 定理 ( ) ( )R t ER t 是 RF 鞅。對(duì)于盈余過(guò)程 ? ?? ?。 有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一個(gè)上界 為方便起見(jiàn)，令 ? ? ? ?? ?1 iii ict vt???? ，則首先可以得到 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?121 1 2 2 11e xp e xpN t N tijijE rR t E rc t M t rc t M t r X r Y????????? ? ? ? ? ??? ?????????? ?? 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 13 頁(yè) 共 23 頁(yè) ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2200111!!i iik kAt Btki ir k c tikkiie A t e B te h rkk? ?????????? ???? ??? ? ? ??? ???????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2211e x p 1 e x pir c ti i iiiA t e B t h r????? ???? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 1e x p 1ir c ti i ii A t e B t h r????? ? ?????? ? ? ? ?2 1e x p ,iii B t g r t???? ????? 其中 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?,1ir c ti i ig r t v t e h r?? ? ? 容易看到，盈余過(guò)程 ? ?? ?。 設(shè)初始準(zhǔn)備金為 u ，則破產(chǎn)時(shí)刻定義為 ? ?? ?in f 0 0uT t u R t? ? ? ? 有限時(shí)間破產(chǎn)概率為 ? ? ? ?, uu t P T t? ?? 最終破產(chǎn)概率為 ? ? ? ?uu P T? ? ? ? 令 ? ? ? ?0 1rxkkh r e dF x???? 且假設(shè)存在 ? ? 0kr? ? ， 使當(dāng) ? ?krr?? 時(shí)， ? ?khr??? 。 以上 ? ? ? ?,ijA t B t 均為連續(xù)非減函數(shù)，滿足 ? ? ? ?0 0 , 0 0ijAB??，對(duì)每一個(gè)t?? ，均有 ? ?iAt?? ， ? ?jBt?? ? ?, 1,2ij? 。 設(shè)保險(xiǎn)公司確定兩個(gè)險(xiǎn)種的相對(duì)安全負(fù)荷分別為常數(shù) 12,??（當(dāng)然 12,??均大 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 12 頁(yè) 共 23 頁(yè) 于 0）。保險(xiǎn)公司當(dāng)然希望 0,t?? 有 ? ? ? ?iiA t B t ? ?1,2i? ，否則這種保險(xiǎn)產(chǎn)品就沒(méi)有經(jīng)營(yíng)的價(jià)值。這里假設(shè)它們分別是均值函數(shù)為 ? ? ? ?,ijA t B t 的非齊次 Poisson 過(guò)程。0jN t t ? 是相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程 ? ?1, 2。因此可視 ? ?? ?。 模型的建立 假設(shè)保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)獨(dú)立的險(xiǎn)種。但在實(shí)際中，強(qiáng)度有可能不是一常數(shù)，而與時(shí)間 t 有關(guān)系，即 應(yīng)將尺度波動(dòng)考慮在內(nèi)。在風(fēng)險(xiǎn)理論中，古典風(fēng)險(xiǎn)模型是研究歷史較長(zhǎng)、理論最為完善的風(fēng)險(xiǎn)模型，但也是最簡(jiǎn)單的風(fēng)險(xiǎn)模型，模型中保險(xiǎn)公司單位時(shí)間內(nèi)收到的保費(fèi)是一常數(shù)，且索賠到達(dá)是一齊次 Poisson過(guò)程。如果 T 是一個(gè)停時(shí)，那么對(duì)任意一個(gè) t , 有min( , )t T t T?? 。 由定義 知，知道了到時(shí)刻 t 的歷史，我們就可以知道是不是 Tt? 。 (2)對(duì) 0t? 有 [ ( )]E M t ?? 。 一個(gè) F 鞅 ? ?( )。 因此 YtF 是到時(shí)刻 t 時(shí)，由 Y 產(chǎn)生的一個(gè) ? 子代數(shù)族，代表到時(shí)刻 t 時(shí) Y 的歷史。 0 ，定義 ? ?( )。0）F 是 F 的一個(gè)不減的 ? 子代數(shù)族。因此 ,我們可以定義 ()t? 的反函數(shù)如下 : 對(duì)于每一個(gè) 0t? 1 in f { , ( ) }( ) ( ) 0 , ( )u u sst u s u? ? ???? ? ? ? ??? 若 對(duì) 所 有 的 (23) 鞅論的基礎(chǔ)知識(shí)及有關(guān)結(jié)果 條件期望的平滑性：設(shè)隨機(jī)變量 ??和 , 則： [ ( | )]E E E? ? ?? 。再由 ()Nt 的右連續(xù)和單調(diào)收斂定理知 ()t? 是右 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 9 頁(yè) 共 23 頁(yè)