線性方程組的解法討論畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-07-04 21:06本頁面
【正文】 3 線性方程組的概念及解的基礎(chǔ)理論形如 ()的方程組，叫做線性方程組，其中1, 2,… n代表n個(gè)未知量的系數(shù)，m是方程的個(gè)數(shù)；aij(i=1,2, …,m,j=1,2, …,n) 稱為方程組的系數(shù)bi(i=1,2, …,s)稱為常數(shù)項(xiàng). 齊次線性方程組若方程組()中全為0，即 （）形如（）的方程組叫做齊次線性方程組[7].常記為矩陣形式: Ax=0其中系數(shù)矩陣的秩. 且方程組()的解空間為. 則可以得到下列結(jié)論, 這里表示方程組()解空間的維數(shù)[9]．定理 齊次線性方程組一定有解：(1) 若齊次線性方程組，則只有零解；(2) 齊次線性方程組有非零解的充要條件是.解的性質(zhì)：記,(1)如果，那么； (2)如果為任意常數(shù)，那么.(3)齊次線性方程組的通解為, 是任意常數(shù)，其中是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.例1[15] 解線性方程組解 方法一：將系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣 顯然有，則方程組僅有零解，即.方法二：由于方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)（即）（注意：方程組的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù)（即），不可以用行列式的方法來判斷），從而可計(jì)算系數(shù)矩陣A的行列式：，知方程組僅有零解，即.例2[2] 解線性方程組解 將系數(shù)矩陣A化為簡化階梯形矩陣 可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中，為自由未知量）令，得；令，得；令，得，于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，.所以，原方程組的通解為 （，）.例3[3] 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并以該基礎(chǔ)解系表示方程組的全部解.解 將系數(shù)矩陣化成簡化階梯形矩陣 可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,所以，原方程組的通解為（其中,為任意實(shí)數(shù)）.注：基礎(chǔ)解系不唯一，但是它們所含解向量的個(gè)數(shù)相同，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于nr(A). 由上面的定理可知，若是系數(shù)矩陣的行數(shù)（也即方程的個(gè)數(shù)），是未知量的個(gè)數(shù)，則有：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)就一定有非零解；（2）當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式；（3）當(dāng)且時(shí)，此時(shí)系數(shù)矩陣的行列式，故齊次線性方程組只有零解；（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故存在齊次線性方程組的同解方程組，使“”.1．若方程組()中不全為0，即
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