64非線性方程組的數(shù)值解法-文庫(kù)吧資料
2024-10-08 09:49本頁(yè)面
【正文】 )(kx *x 雖然 Newton法具有二階局部收斂性 ， 但它要求 非奇異 。 SxxxxFxF ????? ,)(39。 ? ?)(kx *x(1) 存在以 為中心， 為半徑的閉球 ,使 （ ）式中的 對(duì)所有 都有意義，并且 。 xF )(39。 )0(x? Txxx ),()0()0()1( ????? ,)2( ?x表 610 kx2kx1 k 0 1 2 3 4 0 0 關(guān)于 Newton法的收斂性 ， 有下面的局部收斂性定理 第六章非線性方程組的迭代解法 定理 設(shè) ， 滿足 。 同理計(jì)算 結(jié)果列于表 6－ 10。 )(kxF例 用 Newton法解例 （ ） 解 對(duì)該方程組有 取初始向量 ， 解方程組 ， 即 ??????????????810810)(2122122121xxxxxxxxF????????????10212102)(212221xxxxxxFTx )0,0()0( ? )()(39。()( 1 xFxFxx ????() 第六章非線性方程組的迭代解法 在 Newton法實(shí)際計(jì)算過(guò)程中 ， 第 k步是先解線性方程組 解出 后，再令 ，其中包括了計(jì)算向量 和矩陣 )()(39。( 1)()1( ???? ?? kxFxFxx kk （ ) )0(x )( )(1 kk xx ???其中 是給定的初值向量 。若矩陣 非奇異 ， 則可以用使 （ ） 右端為零的向量作為 新的一個(gè)近似值 ， 記為 ， 于是得到 Newton迭代法 )(39。 )(kxF )(xF )(39。用點(diǎn) 處的一階 Taylaor展開(kāi)式近似每一個(gè)分量函數(shù)值 ，有 *x)(kx)(kx0)( * ?xfi????????njkjjjkikii nixxxxfxfxf1)(*)()(* ,2,1),()()()( ?其中 為 的 Jacobi矩陣 在的 值 ， 而 寫(xiě)成向量形式有 ))((39。 * ?? x*x第六章非線性方程組的迭代解法 對(duì)于非線性方程組 ， 也可以構(gòu)造類似于一元方程的 Newton迭代法 。 ??????????? 2122212212101)(39。（ *） 例如 ， 對(duì)于例 對(duì)于例 6 .12所取的區(qū)域 的不動(dòng)點(diǎn) 在它的內(nèi)部 。 * ?? x1))(39。 與單個(gè)方程的情形類似 ， 有時(shí)可以用關(guān)于導(dǎo)數(shù)的條件代替壓縮條件來(lái)判別收斂性 0lim *)( ???? xx kk *)(lim xx kk ???*x?定理 設(shè) ， 在 D內(nèi)有一不動(dòng)點(diǎn) ， 且 在 處可導(dǎo) ， 且譜半徑 ， 則迭代法 （ ） 在點(diǎn) 處局部收斂 ， 其中 ， 函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 Jacobi矩陣 （ 見(jiàn) *式 ） 利用譜半徑與范數(shù)的關(guān)系 ， 我們可用 代替定理 nn RRD ??? : *x ? *x1))(39。 于是 ， 由定義 迭代法 （ ） 在點(diǎn) 處局部收斂 。 *x *x DS ?Sx ?)0(?? ? Sx k ?)(*)(lim xx kk ???? ?)(kx則 稱為 p階收斂 。 ?0D 以上討論了迭代法在 的收斂性 ， 下面討論局部收斂性 。 進(jìn)而 ， 對(duì)于任何 都有 021 ),( Dxxx T ??),( 211 ?? xx? 2 8 7 ),(3 1 2 212 ?? xx?021 ),( Dxxx T ?? 021 ),( Dyyy T ??))(())((10 1)()( 2222111111 yxyxyxyxyx ??????? ??12211 )(103 yxyxyx ??????第六章非線性方程組的迭代解法 2222211122 101)()( yyxxyxyx ????? ??22122122122111101 yyxyxyxxyx ??????))(())(1(10 1 222
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