解線性方程組的解法-文庫吧資料
2025-05-18 14:25本頁面
【正文】 ???????????mnamamaaaaaaann??????212222111211A??????????????????????????????mn bbbxxx??2121, βx5 分別稱為方程組（ ）的系數(shù)矩陣 (coefficient matrix)、 未知量矩陣和常數(shù)項(xiàng)矩陣 . 當(dāng) 時(shí)，稱 為 n元齊次線性方程組； 當(dāng) 時(shí)，稱 為 n元非齊次線性方程組 . 并稱 T)0,0,0( ??? Oβ OAx ?Oβ ? βAx ?????????????????mnnbbbmnamamaaaaaaa???????21212222111211),( βAA為方程組（ ）的增廣矩陣 (augmented matrix). 因?yàn)? 一個(gè)線性方程組由它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)完全確定，所以 線性方程組與它的增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的 . 如果 可以使（ ）中的每個(gè)等式都 成立，則稱 為線性方程組（ ）的一個(gè) 解 (solution). 線性方程組（ ）的解的全體稱為它的解 nn cxcxcx ??? , 2211 ?Tnccc ),( 21 ??x6 集 (solution set). 若兩個(gè)線性方程組的解集相等，則稱 它們同解 (same solution). 若線性方程組（ ）的解存 在，則稱它有解或相容的 . 否則稱它無解或矛盾的 . 解 線性方程組實(shí)際上先要判斷它是否有解，在有解時(shí)求 出它的全部解 . 消元法是求解線性方程組的一種基本方法，其基 本思想是通過消元變形把方程組化成容易求解的同解 方程組 . 在中學(xué)代數(shù)里我們學(xué)過用消元法求解二元或 三元線性方程組，現(xiàn)在把這種方法理論化、規(guī)范化、 并與矩陣的初等變換結(jié)合起來，使它適用于求解含更 多未知量或方程的線性方程組 . 為此，先看一個(gè)例子 . 7 例 1 解線性方程組 ?????????????452462213232131321xxxxxxxx)3()2()1(解 原方程組 ??????????????? ?? ??2451323232321)1(2)3()1()2(xxxxxxx)5()4()1(?????????????? ?? ??183562233231)4(4)5()4()1(xxxxx)7()4()6(????????????? ??65333231)7(31)6(21xxxxx???????????? ?? ??619321)9()4()9()8(xxx)9()4()8(顯然原方程組與最后的方程組（叫階梯形方程組） 同解，所以原方程組有唯一解 6,1,9 321 ????? xxx8 由此不難發(fā)現(xiàn)，在求解線性方程組的過程中，可 以對(duì)方程組反復(fù)施行以下三種變換： 1. 交換兩個(gè)方程的位置； 2. 用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程的兩邊； 3. 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上 . 稱它們?yōu)榫€性方程組的初等變換 . 顯然：線性方程組的初等變換不改變線性方程組 的同解性 . 在例 1的求解過程中，我們只對(duì)方程組的系數(shù)和 常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了運(yùn)算，對(duì)線性方程組施行一次初等變 換，就相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行一次相應(yīng)的初等行 變換，用方程組的初等變換化簡線性方程組就相當(dāng)于 用矩陣的初等行變換化簡它的增廣矩陣 . 下面我們將 例 1的求解過程寫成矩陣形式： 9 ??????????????? ????????????
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