【正文】 這將非常有利于我今后的學(xué)習(xí)和 工作。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 2 4 謝辭 本 論文 是在指導(dǎo)老師 桂旺生 教授的指導(dǎo)下完成的。目前，函數(shù)方程需要我們研究更深入的問題，如用微積分方法，柯西法，遞推法等一系列求解函數(shù)方程的方法。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 1 3 結(jié)束語 函數(shù)方程的研究對(duì)我們的社會(huì)生活越來越重要，函數(shù)方程解法的研究能夠解決我們的一些實(shí)際生活問題。從而使這個(gè)復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式得到解決。 解：由 xxfxfxf 2)()1(2)2( ????? 變化得 xx xfxfxfxf 2)()1(2)1()2( 1 ???????? ? 知 ? ?12)1()2( ????? xxfxf 為常數(shù)列 222)()1( 12 ???????? aaxfxf x 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 26 1,...,1 ?? xx 得 22)1()2( 1 ???? ff 22)2()3( 2 ???? ff ? ? ? ? 22)1()( 1 ????? ?xxfxf 相加得 122122)( ??????? xxxf xx ? ?Zxx ?? 且1 有些時(shí)候我們解決比較復(fù)雜的函數(shù)問題時(shí)，將這個(gè)復(fù)雜的函數(shù)式通過一系列的轉(zhuǎn)換，得到我們熟悉的等差數(shù)列，等比數(shù)列。 例 已知 af ?)1( （常數(shù)） ， Nn? ， 1?n 有 qnpfnf ??? )1()( ， p 、 q 是常數(shù)，且 1?p ，求 )(nf 。實(shí)際上就是數(shù)列 ? ?)(nf （ n =1， 2,3， ? ）的通項(xiàng)。 函數(shù)迭代法 如果 )()**1 (l i ml i m xxnx xnnn ?? ??? ?????,稱 nx 為第 n次近似值，這樣我們稱為函數(shù)迭代。 解： 由題意可知： 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 24 因?yàn)? 1111 ????xx x 又 11)1(11)1( 222 ????????? xxxxxxxx xf 用 x 代xx1?，得 1)( 2 ??? xxxf )1( ?x 經(jīng)過檢驗(yàn)知到，它是原方程的解。 （ 2）最后我們求解得到的函數(shù)是否為函數(shù)方程的解，必須要經(jīng)過檢驗(yàn)。 定義法 定義法就是把所給函 數(shù)的解析式，然后我們通過配方、拼湊等一系列方法使它變形為關(guān)于“原象 ” (或“自變量” )的表達(dá)式，然后我們用 x代替“自變量”我們即得到的函數(shù) )(xf 的表達(dá)式。 解：由題意可知 21)1( ??f 又 ]1)([22)(21)1( ?????? xfxfxf 所以 21)( 1)1( ????xfxf 這個(gè)可以構(gòu)造出是首相為 2 公比為 2的等比數(shù)列 所以 xxf 21)( ?? 所以 12)( ?? xxf 我們?cè)诶脴?gòu)造法去解方程的時(shí)候，應(yīng)該要想到用什么模型去構(gòu)造，應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有一定的掌握。 例 設(shè)12 12???x，12 12???y，則 _ _ _ _ _ _ _22 ??? yxyx （ 20xx年湖北省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題） 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 23 解：由題意可知 22312 12 ?????x 22312 12 ?????y 則知 6??yx ， 1?xy （ 1） 又 xyyxyxyx 3)( 222 ????? （ 2） 所以 將（ 1）代入（ 2）得 333363)( 222 ???????? xyyxyxyx 例 已知 1)(2)1( ??? xfxf ，其中 1)1( ?f .而 x 為自然數(shù)。我們知道，任何數(shù)學(xué)問題可被視為已知的和未知的數(shù)學(xué)對(duì)象，集合的數(shù)學(xué)關(guān)系，即作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型。建設(shè)思想的核心是根據(jù)問題的設(shè)置條件，適當(dāng)建設(shè)的新形式，與已知條件，材料，結(jié)論問路，構(gòu)建數(shù)學(xué)的一個(gè)新形式的特點(diǎn)，問題就容易解決。 構(gòu)造法 構(gòu)造法是創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維，它與方法的結(jié)構(gòu)來解決問題，是反映構(gòu)造法的精髓，是指導(dǎo)構(gòu)造法的靈魂，構(gòu)造法是使用方法的具體手段，實(shí)施這一方法，它全面滲透納悶，抽象，概括和歸納，類比等重要的數(shù)學(xué)方法。 賦值法格式：令 x(可替換為相應(yīng)字母 )=值（如 0， 1，－ 1等） 例 已知設(shè) )(xf 是定義在 R上 的為不恒等零的函數(shù)，且滿足 0)2( ?πf ，那么對(duì)任意 x ， y R? ，都恒有 )2()2(2)()( yxfyxfyfxf ???? ，證明： 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 21 （ 1） )()2( xfxf ?? π ； （ 2） )()( xfxf ?? ； （ 3） 1)(2)2( 2 ?? xfxf 。但是，這只能獲得給定的值，所以我們可以繼續(xù)做推論已獲得并證明。 賦值法 在解 方程 時(shí)， 我們可以通過 運(yùn)用邏輯推理方法 慢慢的去 尋求 需要找的 條件， 然后再找出 結(jié)論， 是一個(gè)很常見的解方程的方法 。 參數(shù)法 如果函數(shù)的未知數(shù)比較多的話，我們?yōu)榱饲蠼夂?jiǎn)便，有時(shí)我們可以在此基礎(chǔ)上增設(shè)一些參數(shù)（也叫輔助未知數(shù)），以便更好地去溝通數(shù)量關(guān)系，這樣的方法叫做設(shè)參數(shù)法； 我們運(yùn)用參數(shù)法去解函數(shù)方程時(shí)，它的基本步驟為：引入?yún)?shù)，消去參數(shù)，再求解； 例 已知 xxf 2s in5)c o s2( ??? ，求 )(xf 解：由題意可知我們?cè)O(shè)所求函數(shù) )(xfy? 的參數(shù)表達(dá)式為： ??? ?? ?? ty tx2sin5cos2 所以 ??? ?? ?? xt yt 2cos 5sin 2 所以 22 )2(cos xt ?? 所以 15)2(s i nc o s 222 ?????? yxtt 即 842 ??? xxy ， 即 84)( 2 ??? xxxf ， ]3,1[?x 在利用參數(shù)法解函數(shù)關(guān)系式的時(shí)候，一定要先引入?yún)?shù)，然后通過轉(zhuǎn)換去消去已有的參數(shù)，再求得函數(shù)解析式。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 19 解： 由題意可知令 0xy?? 可得 (0) 2 (0)ff? ? (0) 0f ? 由導(dǎo)數(shù)的定義00( ) ( 0 ) ( )( 0 ) l im l imhhf h f f hf hh???? ?? 對(duì)于 xR?? 有0( ) ( )limhf x h f xh??? 0( ) ( )limhf h xhf x hh???? 22(0) 1f x x?? ? ? ? 即 2( ) 1f x x? ??，兩邊對(duì) x 積分可得 31() 3f x x x C? ? ?，又 (0) 0f ? ，故 0C? 所以 31() 3f x x x?? 例 設(shè) ()fx連 續(xù)， (0)f? 存在且 (0) 1f? ? ，并且對(duì)于任意的 ,xy R? 都有 ( ) ( )()1 4 ( ) ( )f x f yf x y f x f y??? ? 求 ()fx。那么這 個(gè)函數(shù)就叫做該微分方程的解。用柯西法時(shí)應(yīng)限制解的性質(zhì)是連續(xù)的。 柯西法 柯西方法是一種“爬坡式”的推理方法，也就是說首先求出自