【正文】 D 研究展望由于本人對灰色系統(tǒng)理論的研究尚淺，對灰系統(tǒng)理論中一些看法還不夠成熟，所做的工作中還有很多需要改進(jìn)的地方，但筆者相信已具有發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力，在今后的學(xué)習(xí)生活及工作，筆者會繼續(xù)對灰色系統(tǒng)理論的研究，爭取做出成績，目前看來，筆者認(rèn)為有以下幾個方面可以進(jìn)行研究：(1）進(jìn)一步深入研究灰模型的適用范圍(2)由于 GM(1,1)模型的優(yōu)化只有更優(yōu),沒有最優(yōu),將繼續(xù)分析模型誤差產(chǎn)生的原因，并研究 GM(1,1)模型的優(yōu)化.(3)將對緩沖算子的選用上以及從理論上研究通過緩沖算子作用以后能否從根本上提高模型精度進(jìn)行研究(4)由于目前灰數(shù)的運算不具有可逆性,將從理論上在這方面做些工作.參考文獻(xiàn)26參 考 文 獻(xiàn)[1] 鄧聚龍(2022). 灰預(yù)測與灰決策[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社.[2] 劉思峰,黨耀國,[M].北京:科學(xué)出版社,2022.[3] 羅黨,劉思峰,黨耀國(2022). 灰色模型 GM(1 ,1) 優(yōu)化[J] . 中國工程科學(xué), 2022 (8) : 50 53.[4] 王正新,黨耀國,劉思峰(2022). 基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的 GM(1,1)模型[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐,2: 61~67.[5] 王義鬧, 劉開第, 李應(yīng)川(2022). 優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)白化值的 GM(1,1) 建模法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐,21(5):124128.[6] 劉思峰,鄧聚龍(2022).GM(1,1) 模型的適應(yīng)范圍[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐,20(5):121124.[7] 薛煥斌,魏勇(2022). 基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的 GM(1,1)模型的再優(yōu)化[J]. 數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識, (1): 242246.[8] 穆勇. 具有白指數(shù)律重合性的 GM（1，1）模型[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，（1）：1519.[9] 謝乃明,劉思峰. 離散 GM(1, 1)模型與灰色預(yù)測模型建模機(jī)理[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2022, (1): 9398.[10] Naiming Xie, Sifeng Liu. 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Proceedings of the 5th Innovation amp。本選題在他們的工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。（2）基于完全沿用等間距一次累加的原始非等間距模型精度不盡人意，但各種改進(jìn)非等間距模型一次累加表達(dá)式復(fù)雜、計算繁瑣這一基本事實，依據(jù)各種非等間距預(yù)測表達(dá)式都具有數(shù)據(jù)預(yù)測序列是時序指標(biāo)的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達(dá)式，更無需其計算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時優(yōu)化其灰導(dǎo)數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預(yù)測精度較高的非等間距灰色預(yù)測模型。主要做了以下工作：（1）通過對不用一次累加而直接建模的等間距 GM(1,1)模型的灰色微分方程中的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提出了用 （其中 ） ，(0)(ztAxtC??， (1)0lnxkA???代替原始灰色微分方程中的灰導(dǎo)數(shù)，同時用 代替原始灰色微分方程中的背()k景值 ，得到新的灰色微分方程 ，從而獲得新模型，經(jīng)過(1)zk baxz?)0(嚴(yán)格理論驗證該模型具有指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)重合性。通過對 GM(1,1)模型的優(yōu)化，拓廣其應(yīng)用范圍,同時提高了精度。由于只要求函數(shù)為單調(diào)（遞增或遞減） ，這樣的函數(shù)隨手可得，已有的任何一個緩沖算子（無論強(qiáng)化還是弱化）都可以得到一大類緩沖算子，為解決擾動數(shù)據(jù)序列的建模提供了很多選擇，有一定的實用價值。上述性質(zhì)的證明過程與性質(zhì)1的證明類似, 略。1D同理可證，當(dāng) 均為單調(diào)遞減函數(shù)時，無論 為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰,fgX減序列還是振蕩序列， 均為強(qiáng)化緩沖算子。1D（3）當(dāng) 為振蕩序列時，設(shè)X， ，??()max()1,2kn??? ??()min()1,2xxkn???同理于（1） ， （2）的證明， 滿足公理 1 和公理 4，故 為緩沖算子。1D設(shè) 均為單調(diào)遞增函數(shù)，,fg（1）當(dāng) 為單調(diào)增長序列時，則X()()()xkixn??? ?因為 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f，()()()fxkfif?? ?因為 為一強(qiáng)化緩沖算子，所以D，fdfxidfxnd?? ?且()(),12?? ()()f?因為 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以g（公理 4） ，[][][]fxkgfigf?? ?且()(),dxkn? ()[()]xdgfxn即 且 （公理 1）12gf?? f?故 對單調(diào)增長序列為強(qiáng)化緩沖算子。 緩沖算子新定理定理 為一強(qiáng)化緩沖算子， 為系統(tǒng)原始行D(1),2,()Xxxn??為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為 ， 均為單調(diào)函數(shù)，并(1),2xdd? fg具有相同的單調(diào)性，且滿足 ， ，(gfk,k?，其中 ,則無論 為單調(diào)增長序111(),2,()Xxdxnd?? 1)[)]gfx?X列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列， 均為強(qiáng)化緩沖算子。這便是10,???r )(1)()(8nxdkx?????文獻(xiàn)[49]中的定理 4. 結(jié) 語本文將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)聯(lián)系起來，構(gòu)造了一類新的實用強(qiáng)化緩沖算子。1D第 5 章 一類新的緩沖算子的構(gòu)造及緩沖算子新定理21定理 當(dāng)取定理 中的 則 為單調(diào),1)()(,( ?rnxfkkxw? )(xf遞增函數(shù)時， 是強(qiáng)化緩沖算子。1D同理可證，當(dāng) 均為單調(diào)遞減函數(shù)時，無論 為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減gk, X序列還是振蕩序列， 均為強(qiáng)化緩沖算子。)()()(01 kxghwdkxkr????1D（2）當(dāng) 為單調(diào)衰減序列，則 ，因為X 0)()(???nxi??， 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以,?gkk,，?niw?? nikgg??因為 所以0r，1??rnrirk??從而 krkgw因為 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以h,0?，即 對單調(diào)增長序列為強(qiáng)化緩沖算子。1D證明： 顯然滿足緩沖算子四公理，故 為緩沖算子。本文在他們的工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。第 5 章 一類新的緩沖算子的構(gòu)造及緩沖算子新定理19第 5 章 一類新的緩沖算子的構(gòu)造及緩沖算子新定理 一類新的實用強(qiáng)化緩沖算子的構(gòu)造由于現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)往往因受到外界很多沖擊因素的干擾而失真，為了排除擾動因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對波動數(shù)據(jù)預(yù)測的新領(lǐng)域，他提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進(jìn)行建模預(yù)測的新思路，眾多學(xué)者從不同的背景出發(fā)，提出了各種緩沖算子，大大提高了灰色預(yù)測建模精度，從而大大拓廣了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用范圍。經(jīng)過嚴(yán)格理論驗證該模型具有指數(shù)，系數(shù)重合性，而且經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)序列和非標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)序列的數(shù)據(jù)的模擬、預(yù)測驗證，優(yōu)化后的模型提高了灰微分方程和白化微分方程的吻合性以及灰預(yù)測模型的擬合精度和預(yù)測精度。表3 　鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化關(guān)系T/ ℃ ( )ik100 130 170 210 240 270 310 340 38001ix??560 表4：模型的模擬效果和相對誤差表文獻(xiàn) [25]方法 本文方法T/ ℃ ( )ik)(01ikx??模擬數(shù)據(jù)相對誤差（%）模擬數(shù)據(jù)相對誤差（%）100 560 130 170 210 240 270 310 340 380 最大相對誤差（%） 平均相對誤差（%） 由表4可以看出，無論是從最大相對誤差還是平均相對誤差來看，本文的模型都要優(yōu)于文獻(xiàn)[11] 的模型，而且本文簡化了模型的表達(dá)式。表3是鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化的實驗數(shù)據(jù),這是一個非等間距序列。證畢！(0)?xk(0)k例1[2] 表1：原始數(shù)據(jù)表序號 1 2 3 4 5 6 7 10 15原始數(shù)據(jù)620295751本例以原始的非等間距GM（1，1）模型為原模型，以文獻(xiàn)[2]的模型為模型[2]，記本文模型為新模型，得表2：表2：模型的模擬效果和相對誤差表模擬（預(yù)測）值 相對誤差(%)序號原始數(shù)據(jù) 原模型 模型[2] 新模型 原模型 模型[2] 新模型1 2 3 04 5 6 7 10 015 0由例1可以看出本文的新模型不僅簡化了模型的表達(dá)式，運算簡便，且大大提高了精度。??0x證明：設(shè)原始序列為 ，則 ，則存在常數(shù)??)(0ikx)1(??ikABe)()(0iikAxz?和 ,使灰色微分方程 成立。c 0?dS可得0))]([210(?????ni akiakexbeii ???niakki iiiexbc12)(][灰色微分方程為 ①bkaxz??)()(0 ①式的最小二乘估計參數(shù)序列為 ，其中，YBTT1)(,??， 。( ikii Adzi?第 4 章 GM(1,1)模型建模方法的改進(jìn)15白化微分方程 的連續(xù)解為： （其中btaxdt??)()(00 abectxt???)(0為待定系數(shù)） 。令 ，寫成離散形式有 ；2?i )()()(00tAxdttz?))(0iii Adz2）若 近似滿足指數(shù)形式，即 ，令??0x???)(0ikx)1(?ikABe， 。定義1 [1] 設(shè)序列 ，若間距??0X????????nkxkx030201,??，則稱 是非等