畢業(yè)論文_淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想-wenkub
2022-09-08 10:52:10 本頁(yè)面
【正文】 )由 1a =1, 2a =6, 3a =11,得 1S =1, 2S =7, 3S =18. 把 n =1,2 分別代入 (5n8) 1nS? (5n+2) nS =An B? ,得 282 48ABAB? ???? ? ??? 解得 , A =20, B =8. (Ⅱ )由 (Ⅰ )知 ,5n( 1nnSS? ? )8 1nS? 2 nS =20n8,即 5n 1na? 8 1nS? 2 nS =20n8, ① 又 5(n+1) 2na? 8 2nS? 2 1nS? =20(n+1)8. ② ② ①得 :5(n+1) 2na? 5n 1na? 8 2na? 2 1na? =20, 即 (5n3) 2na? (5n+2) 1na? =20. ③ 又 (5n+2) 3na? (5n+7) 2na? =20 ④ ④ ③得 :(5n+2)( 3 2 12n n na a a? ? ???) =0, 3 2 12n n na a a? ? ???=0 ∴ 3 2 2 1 3 2........n n n na a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ?=5, 又 21aa? =5, 因此 ,數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 1,公差為 5的等差數(shù)列 . (Ⅲ )不妨設(shè) m≤ n,則可設(shè)左邊 = f(m,n)= ? ? ? ? ? ?2 0 2 0 3 65 5 4 5 4 5 4mnm n m n??? ? ? ?≥? ? ? ? ? ?2 20 20 365 5 4 5 4 5 4mnn n n??? ? ? ?= ? ?,gmn 是關(guān)于 m的一次函數(shù)且單調(diào)遞增． 所以 f(m,n) ≥ g(1,n)= ? ?220 165 5 4 5 4nnn?? ? ?顯然 g(1,1)= 4 151??而2n? 時(shí)， f(1,n)≥ g(1,n) ? ?20 165 5 4nnn???= ? ? ? ?10 4 10 12 110 4nnn? ? ? ?? 因此 ,不等式 51mn m na a a??對(duì)任何正整數(shù) m、 n都成立 . 評(píng)析 :試題的第一問(wèn)只要簡(jiǎn)單的賦值即可得到方程組來(lái)解決 。試題的第二問(wèn)也是 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 11 利用方程組通過(guò)消元來(lái)獲解 。2( ) 3f t t k??,因 f(t)在 [1,+∞ )上遞增 ,則當(dāng) t≥ 1 時(shí) , 39。③分離變量 ,利用函數(shù)的最值解恒成立問(wèn)題 ,是一種重要的解題策略 . 解析幾何中的許多問(wèn)題，可運(yùn)用函數(shù)與方程思想求解． 例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決，涉 及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論． 例 m: 1y kx??和雙曲線 221xy??的左支交于 A、 B兩點(diǎn)，直線 L過(guò) 點(diǎn) P(2， 0)和線段 AB 的中點(diǎn) M，求 L在 y軸上的截距 b的取值范圍 . 剖析 :b 的變化是由于 k的變化而 引起的，即對(duì)于 k 的任一確定的值 .b 有確定 的值與之對(duì)應(yīng)，因此 b是 k的函數(shù)，本題即為求這個(gè)函數(shù)的值域 . 解：由 ? ?221 11y kx xxy??? ??? ???消去 y得 : ? ?221 2 2k x kx o? ? ? ? (*) 因?yàn)橹本€ m 與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程 (*)有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根． 所以? ?2212 212 24 8 1 02 012 01kkkxxkxxk?? ? ? ? ????? ? ?????? ??? ?? 解得 12k?? 設(shè) M? ?00,xy 則 120 200 221111xx kxky kx k?? ???? ???? ? ?? ?? 由 P(2， 0)， M 221,11kkk????????,Q(0,b)三點(diǎn)共線，不難得出2 222b kk? ? ? ? 設(shè) ? ? 22 1 1 72 2 248f k k k k??? ? ? ? ? ? ? ?????，則 ??fk在 ? ?12， 上為減函數(shù)． 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 0f f k f f k? ? ?且， ? ? ? ? ? ?2 2 0 0 1f k f k? ? ? ? ? ?或 所以 22b ? ? ? 或 b2 評(píng)析 :根據(jù)函數(shù)的思想建立 b與 k的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)方程的思想，運(yùn)用二次方程的理論具體求出 b的表達(dá)式，是解此題的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題 .不少解析幾何問(wèn)題，其中某淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 14 些元素處于運(yùn)動(dòng)變化之中，存在著相互聯(lián)系、相互制約的量，它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系 。2( ) 3 3 0g t t? ? ? ? 得 t=1,t=1(不合題意，舍去 ) t (0,1) 1 (1,2) 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 16 39。2( ) 2 2 0f x tx t? ? ? x=t x ( , )t??? t ( , )t? ?? 39。()ft≥ 0? 23tk? ≥ 0? k≤ 3t 只要 k≤ ( 23t )min=3 即可 .故 k? ? ?,3?? 評(píng)析：①將向量間的幾何關(guān)系 ,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)量化 ,構(gòu)建函數(shù) ,回歸函數(shù)問(wèn)題，解該題的思維取向 。以上三問(wèn)通過(guò)運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法都得到了解決 ,充分說(shuō)明了函數(shù)與方程的思想方法的實(shí)用性和重要性 . 函數(shù) f(x)＝ ? ?nax b? (n∈ N*)與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的． 用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問(wèn)題，運(yùn)用不定 方程的解題思想也可以解決二項(xiàng)式定理． 例 1．求 證 0 1 1 0.......k k k km n m n m n m nC C C C C C C? ?? ? ? ? 證明：令 ? ? ? ?1 mnf x x ??? 顯然 kmnC? 是 ? ?1 mnx ?? 展開(kāi)式中 kx 的系數(shù) ? ? ? ? ? ?1+ x 1mnf x x??=? ? ? ?0 1 0 1. . . . . . . . . .m m n nm m m n n nC C x C x C C x C x? ? ? ? ? ? 其中 kx 的系數(shù)為 0 1 1 0.......k k km n m n m nC C C C C C?? ? ? 故 0 1 1 0.......k k k km n m n m n m nC C C C C C C? ?? ? ? ? 評(píng)析：一般的，利用二項(xiàng)式定理構(gòu)造函數(shù) ? ? ? ? ? ?nf x a x n? ? ?應(yīng)用廣泛，特 別是在證明組合數(shù)恒等式，組合數(shù)求和，證明不等式，證明整除等問(wèn)題中用得較多． 例 2：求 ? ?100332x? 展開(kāi)所得的關(guān)于 x 的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)． 解析：有理項(xiàng)的求法：解不定方程． ? ?100 31 1 0 0 32 rrrrT C x ?? ??? ??= ? ?100 10032100 32rr rrCx? ? 依題意有 100r ,23r z? 所以 r為 3和 2 的倍數(shù)，即為 6的倍數(shù)，又因 0≤ r≤ 100 所以 r=0,6?? 96構(gòu)成首項(xiàng)為 0，公差為 6，末項(xiàng)為 96 的等差數(shù)列． 由 96=0+（ n1） 6得 n= 17 項(xiàng)． 評(píng)析：此題若一項(xiàng)一項(xiàng)去找較麻煩，運(yùn)用不定方程思想及等差數(shù)列的性質(zhì)則很容易解決． 函數(shù)與方程思想在三角解題中有著十分廣泛的應(yīng)用 . 在三角學(xué)習(xí)中，我們要善于根據(jù)問(wèn)題的特征，合理地展開(kāi)聯(lián)想，巧妙地實(shí)施轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的意識(shí)，使解題的水平得到大幅度的提高 .“數(shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法”，道理就在于此． 例 ? ? ? ?2c o s s i n 0f x x a x b a? ? ? ?的最大值為 0，最小值為 4，求 a,b 的值． 解：因?yàn)?? ? ? ?2c o s s i n 0f x x a x b a? ? ? ?= 2s in s in 1x a x b? ? ? ? = ? ?2s in s in 1x a x b? ? ? ? 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 12 = 2 2s in 124aaxb??? ? ? ? ????? ① 若 2a? ，則當(dāng) sin 1x?? 時(shí)， f(x)有最大值． 當(dāng) sin 1x? 時(shí)， f(x)有最小值 所以2 22 21 1 0241 1 424aa baa b? ??? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ?????? ? ? ? ? ? ?
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