線性方程組的解法討論畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-08 21:06本頁(yè)面
【正文】 方程組有唯一的零解.定理4[4] 齊次線性方程組有非零解.例8 解線性方程組解 所以，方程組有唯一解.，因此，線性方程組的解為：.小結(jié)：Cramer法則用于判斷具有n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)線性方程的方程組解的情況[12].當(dāng)方程組的系數(shù)行列式不等于零時(shí)，則系數(shù)行列式必為零. 用克拉默（Cramer）法則解線性方程組比較簡(jiǎn)單，操作起來(lái)也比較容易，但它只適用于解未知數(shù)的個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)相同的線性方程組，而且通常是解非齊次線性方程組，對(duì)齊次線性方程組，只能求出零解，非零解無(wú)法求出. LU分解法LU分解法是直接分解法中的一種算法[10]，將方程組Ax=b 中的稀疏矩陣A分解為一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)下三角矩陣，其中A=LU,令y=Ux,那么在方程租的運(yùn)算中可以先解Ly=b,再解Ux=y在編程過(guò)程中分兩步進(jìn)行，先對(duì)矩陣A進(jìn)行LU分解，然后再解方程組.例9 用LU分解法解方程組 解 由LU分解 小結(jié)：LU分解法的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)方程組左端系數(shù)矩陣不變[13]，僅僅是方程組右端列向量改變，即外加激勵(lì)信號(hào)變化時(shí)，能夠方便地求解方程組. 設(shè)n階線性方程組Ax=b .將方程組左端系數(shù)矩陣A，分解成兩個(gè)三角陣的乘積[14]，即A=LU ，式中，L為主對(duì)角線以上的元素均為零的下三角矩陣, 且主對(duì)角線元素均為1的上三角矩陣；U為主對(duì)角線以下的元素均為零.1. 線性方程組AX=b,當(dāng)A可逆時(shí)，(注：A是方陣).例10 解線性方程組Ax=b,其中，b=(1，2，4).解 ,所以，系數(shù)矩陣A可逆.，方程組變形為 x=A1b因此，線性方程組的解為：.注：針對(duì)線性方程組AX=b,，使之能運(yùn)用到一般的線性方程組的求解中.2. ，使得，則稱為矩陣的一個(gè){1}廣義逆矩陣，{1}逆總是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩陣的{1}逆的全體記為.若，為的一個(gè){1}廣義逆矩陣[2]，則對(duì)為任意的矩陣，矩陣的一個(gè){1}廣義逆矩陣為,同時(shí)還可以表示為.廣義逆矩陣的計(jì)算：(1)設(shè)，且有和階置換矩陣使得則對(duì)任意的，矩陣是的一個(gè){1}則矩陣的{1}逆的全體(2)設(shè)，則有惟一{1}逆的充分必要條件是，且，{1}逆就是.定理1 [12] 設(shè)，,則是線性方程組有解的充要條件,，其通解可表示為，其中是任意的維列向量.定理2[14] 設(shè)線性方程組有解，是矩陣的一{1}廣義逆矩陣，并且，則為線性方程組的最小范數(shù)解.定理3[15] 設(shè)為矩陣的一個(gè){1}廣義逆矩陣，且，則對(duì)任意的維列向量,一定是線性方
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