【正文】 = ?101 ?101 x1 + ?101 x2 = ?101 解 :本題的計(jì)算機(jī)機(jī)內(nèi)形式為 因?yàn)?a11 =?0,故可用 Gauss消元法求解 ,進(jìn)行第一次消元時(shí)有 a22(1)= ?101 104 ? ?101 (m21=a21/a11=1/= 104) = ?105 ?105 (對(duì)階計(jì)算 ) = ?105 = ?105 ,得三角方程組 ?103 x1 + ?101 x2 = ?101 ?105 x2 = ?105 回代解得 x2=1 ,x1=0 嚴(yán)重失真 ! (因?yàn)楸绢}的準(zhǔn)確解為 x1=10000/9999, x2=9998/9999 例 4 用高斯消去法解方程組 ???????? ?212111xxxx要求用具有舍入的 10位浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算 。?????000 00 000 700 00 000 12xx 顯然 ,計(jì)算解與真解相差太大 , 11)1(11 ???a原因是用很小的數(shù)作除數(shù)， 使得舍入誤差太大，從而計(jì)算結(jié)果不可靠。?????200 00 000 700 00 000 12xx計(jì)算解 : ?????????? 211121xxxx???????? ?212111xxxx 該結(jié)果較好 。 對(duì)一般系數(shù)矩陣 ， 最好保持乘數(shù) )( kkka元素避免采用絕對(duì)值很小主1|| ?ikm ， 因此在高斯消去法中引進(jìn)選主元素技巧 。 0||m ax||1111 ???? ??ijnj niji aa11 jxx 與注意調(diào)換，設(shè) bxA ?? ? ，nnRA ?? 為非奇異矩陣 ， )(第一步： 。列與第第交換時(shí)當(dāng) 11 1),(,1 jbAj ???1ia ),3,2(11 nibmb ii ???在 A中選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素 ， 即確定 第 k 步：重復(fù)進(jìn)行 ， 設(shè)已完成第 1步 —第 k1 的選主元 ， 使 [A， ]增廣陣 。步選主元區(qū)域方框?yàn)榈?1,2,1 ?? nkk ?使選主元：即確定 ,)1( kk ji 0m ax ???? ??ijnjk nikji aa kk ，行元素，行與第第交換時(shí)即當(dāng)交換行列 kkkk ikbAki ),(,)2( )()( ??（ 3） 消元計(jì)算： ),1( nkiaamkkikik ????),1,( nkjiama kjikij ?????ib列元素。則是未知數(shù)其中 nn xxxyyy , 2121 ???????????????)1,2,1(/)(/1?niayabyabyiinijjijiinnnn工作量大。該方法數(shù)值穩(wěn)定 )1( ?kim缺點(diǎn)： 優(yōu)點(diǎn)： 改進(jìn)方法： 。 列主元素消去法 以下步驟類似完全選主元素消去法 。 0,1 12 ??? xx例： ??????21110101 99 ????????? 99991010010101注意：這兩個(gè)方程組在數(shù)學(xué)上 嚴(yán)格等價(jià) 。為省時(shí)間， si 只在初始時(shí)計(jì)算一次。 ||m a x1 ijnji as ?????????????nkkkaa... iiksa注 ： 穩(wěn)定性介于列主元法和全主元法之間。 1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies 列主元基本思想 用高斯消去法求解線性方程組時(shí) ,應(yīng)避免小的主元 .在實(shí)際計(jì)算中 ,進(jìn)行第 k步消去前 ,應(yīng)該在第 k列元素 aik (i=k,… ,n)中找出絕大值最大者 ,例如 ∣ a ∣= max ∣a ∣ 再把第 p個(gè)方程與第 k個(gè)方程組進(jìn)行交換 ,使 apk(k1)成為主元 .我們稱這個(gè)過(guò)程為 選主元 .由于只在第 k列元素中選主元 ,通常也稱為 按列選主元 (或稱 部分選主元 ). 如果在第 k步消去前 ,在第 k個(gè)方程到第 n個(gè)方程所有的 xk到 xn的系數(shù) a (i=k,… ,n。精確解： ),( 321 ????? xxx?????????????012113 3 3 6 6 2226],[ bA?)1 6 6 ,3 3 3 ( 3121 ?? mm??????????????3 3 3 3 6 6 6 3 3 0 0 222632 rr ? ?????????????2226解 ： 消元： ?) ( 32 ??m??????????????6 6 3 3 3 3 3 3 6 6 22263 3 3 0 0 0 5 9 9 6 ??舍去或著說(shuō)被 “ 吃 ” 行計(jì)算。 優(yōu)點(diǎn)： 數(shù)值穩(wěn)定 。 列主元高斯 約當(dāng) （ GaussJordam） 消去法 。 列主元高斯 —約當(dāng) （ Gauss –Jordan)消去法 假設(shè) GJ消去法已完成第 1步～第 k1步 ， 得到與原方程組等價(jià) ，???????????????????????)()()()()(,1)(,1)(1)(1)(11knnknkkknkkkknkknkknkkkaaaaaaaaA????????第 k步計(jì)算步驟： ,)()()(1)(?????????????????knkkkkbbbb???的方程組 ， 其中 )()( kk bxA ?（ 1） 按列選主元： 使即確定ki ；iknikki aa k ??? m ax,行元素；行與第第時(shí)，交換當(dāng) kk ikbAki ),( ??（ 2） 換行： ? 消元： （ 3） 消元計(jì)算： （ 3） 消元計(jì)算： ，且 ),2,1(/ kiniaamkkikik ???? ?，且 ??????????????nkjkiniamaakjikijij ,1,2,1??。),2,1( nibx ii ???? 計(jì)算解： kkkk mbb ??（ 1） 按列選主元： 使即確定ki ；iknikki aa k ??? m ax,行元素；行與第第時(shí)，交換當(dāng) kk ikbAki ),( ??（ 2） 換行： ? 消元： 說(shuō)明 ： 次乘除法。 如果用列主元 GJ消去法將 （ A， I） 為非奇異矩陣，設(shè)nnRA ??。 定理 9 （ 列主元高斯 —約當(dāng)法求逆 矩 陣 ） 化為（ I， T）， 。時(shí)，一般不用高斯在解方程組 ?? bxA ??因?yàn)橛?jì)算量太大，但是在解多個(gè)方程組而它們的系數(shù)矩陣相同時(shí)， ，則有了矩陣的逆矩陣用此方法，即是求系數(shù) bAxAA ?? 111 , ??? ?該方法與高等代數(shù)中求逆矩陣方法的不同之處是有選主 注 ： 元，實(shí)際上 選 主元就是交換兩行的位置，仍是初等變換，在一般的 求逆矩陣方法中也有交換兩行元素。的逆矩陣 1653542321???????????? AA???????????100653010542001321),( IA??????????001321010542100653解： ??31 rr ?131r????????????3/10113/103/21013/203/10023/5131323121??mm ，???13123132rrrr ????????????3/10113/103/21013/20100653 2132 ?m??????????????02/112/10012/302/31022/502/101?? 2123523rrr?? 23 21 rr ????????????02/112/1003/2022/203/1023/51??????????????02/112/10012/302/31022/502/101?? 2123523rrr??????????????012100133010231001???3323123rrrrr， )( 1?? AI。 方法的特點(diǎn) 由具體計(jì)算結(jié)果可知 ,全主元素法的精度優(yōu)于主元素法 ,這是由于全主元素是在全體系數(shù)中選主元 ,故它對(duì)控制舍入誤差十分有效 .但全主元素法在計(jì)算過(guò)程中 ,需同時(shí)作行與列的互換 ,因而程序比較復(fù)雜 ,計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng) .列主元素法的精度雖稍低于全主元素法 ,但其計(jì)算簡(jiǎn)單工作量大為減少 ,且計(jì)算經(jīng)驗(yàn)與理論分析均表明 ,它與全主元素法同樣具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性 ,列主元素法是求解中小型稠密性方程組的最好方法之一 . 選主元消去法 (包括解線性方程組的所有直接的方法 )比較適用于中小型方程組 .對(duì)高階方程組 ,即使奇數(shù)矩陣是稀疏的 ,但在計(jì)算中很難保持稀疏性 ,因而有存儲(chǔ)量大，程序復(fù)雜等不足 ,所幸的是這一缺點(diǎn)可用迭代法解決 . 另外 ,高斯選主元消去法還可技巧性的解決一些特殊線性方程組 由于誤差的影響 ,計(jì)算過(guò)程中可能出現(xiàn)一些壞現(xiàn)象 ,要盡可能防止 ,表現(xiàn)在求解線性方程組的消元法比較上 ,